Номер 6, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 6, страница 184.

Условие.

6 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы, обратной теореме о свойстве касательной (также известна как признак касательной)

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Прямая $a$ проходит через точку $A$, лежащую на этой окружности. По условию теоремы, прямая $a$ перпендикулярна радиусу $OA$.

Необходимо доказать, что прямая $a$ является касательной к окружности, то есть имеет с ней только одну общую точку $A$.

Возьмем на прямой $a$ любую точку $B$, отличную от $A$. Соединим точку $B$ с центром окружности $O$. Получим треугольник $\triangle OAB$.

Так как по условию $OA \perp a$, то $\triangle OAB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OAB = 90^\circ$. В этом треугольнике отрезок $OA$ является катетом, а отрезок $OB$ — гипотенузой.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, $OB > OA$.

Поскольку точка $A$ лежит на окружности, длина отрезка $OA$ равна радиусу $r$. Таким образом, $OB > r$. Это означает, что расстояние от центра окружности до точки $B$ больше радиуса, и, следовательно, точка $B$ лежит вне окружности.

Так как $B$ — произвольная точка на прямой $a$, отличная от $A$, то все точки прямой $a$, кроме точки $A$, лежат вне окружности. Значит, прямая $a$ и окружность имеют только одну общую точку $A$.

По определению, прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной. Следовательно, прямая $a$ является касательной к окружности.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема, обратная теореме о свойстве касательной: если прямая проходит через точку на окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к окружности.