Номер 11, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 11, страница 184.

Условие.

11 Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Какой угол называется вписанным?

Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают эту окружность. Дуга, заключенная внутри вписанного угла, называется дугой, на которую он опирается.

Ответ: Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают эту окружность.

Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Формулировка теоремы: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Пусть в окружности с центром в точке $O$ дан вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на дугу $AC$. Необходимо доказать, что $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC$. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Центр окружности $O$ лежит на одной из сторон угла.

Пусть центр $O$ лежит на стороне $BC$. Тогда $BC$ — диаметр окружности. Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он равнобедренный, поскольку $OA = OB$ как радиусы. Следовательно, углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Угол $\angle AOC$ является внешним для треугольника $\triangle AOB$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AOC = \angle OAB + \angle OBA = 2\angle OBA = 2\angle ABC$. Так как $\angle AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$, то его мера равна мере этой дуги: $\angle AOC = \cup AC$. Отсюда $\cup AC = 2\angle ABC$, или $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC$.

Случай 2: Центр окружности $O$ лежит внутри угла.

Проведем из вершины $B$ луч $BO$, пересекающий окружность в точке $D$. Этот луч делит угол $\angle ABC$ на два угла ($\angle ABD$ и $\angle DBC$), а дугу $AC$ на две дуги ($\cup AD$ и $\cup DC$). Для каждого из этих углов выполняется условие случая 1, так как сторона $BD$ проходит через центр $O$. Следовательно, $\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD$ и $\angle DBC = \frac{1}{2} \cup DC$. Складывая эти равенства, получаем: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \cup AD + \frac{1}{2} \cup DC = \frac{1}{2}(\cup AD + \cup DC) = \frac{1}{2} \cup AC$.

Случай 3: Центр окружности $O$ лежит вне угла.

Проведем из вершины $B$ луч $BO$, пересекающий окружность в точке $D$. Тогда угол $\angle ABC$ можно представить как разность углов: $\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD$. Дуга $AC$ также является разностью дуг: $\cup AC = \cup AD - \cup CD$. Для углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$ выполняется условие случая 1. Следовательно, $\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD$ и $\angle CBD = \frac{1}{2} \cup CD$. Вычитая второе равенство из первого, получаем: $\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = \frac{1}{2} \cup AD - \frac{1}{2} \cup CD = \frac{1}{2}(\cup AD - \cup CD) = \frac{1}{2} \cup AC$.

Так как мы рассмотрели все возможные случаи расположения центра окружности относительно сторон вписанного угла, теорема доказана.

Ответ: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.