Номер 15, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 15, страница 185.

Условие.

15 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Теорема о биссектрисе угла (свойство биссектрисы) состоит из двух частей: прямой и обратной теорем, которые вместе определяют биссектрису как геометрическое место точек.

Прямая теорема: Свойство точек биссектрисы угла

Формулировка: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Доказательство

Пусть дан неразвернутый угол с вершиной в точке $A$ и сторонами, лежащими на лучах $h$ и $k$. Пусть луч $l$ является его биссектрисой. Выберем на биссектрисе $l$ произвольную точку $M$, не совпадающую с $A$.

Требуется доказать, что расстояние от точки $M$ до стороны $h$ равно расстоянию от точки $M$ до стороны $k$. Расстояние от точки до луча — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, содержащую луч.

Проведем из точки $M$ перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к сторонам $h$ и $k$ соответственно ($P \in h, Q \in k$). Таким образом, $MP \perp h$ и $MQ \perp k$. Длины отрезков $MP$ и $MQ$ и есть искомые расстояния.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle APM$ и $\triangle AQM$. У них общая гипотенуза $AM$. Углы $\angle PAM$ и $\angle QAM$ равны, так как по условию луч $AM$ (то есть $l$) является биссектрисой угла $\angle PAQ$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle APM$ и $\triangle AQM$ равны по гипотенузе и острому углу.

Так как треугольники равны, то равны и их соответствующие элементы. В частности, равны катеты, лежащие напротив равных углов: $MP = MQ$.

Это и означает, что любая точка $M$ на биссектрисе угла равноудалена от его сторон. Теорема доказана.

Ответ: Утверждение "Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон" доказано.

Обратная теорема

Формулировка: Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

Доказательство

Пусть внутри неразвернутого угла с вершиной $A$ и сторонами $h$ и $k$ дана точка $M$, которая равноудалена от этих сторон.

Требуется доказать, что луч $AM$ является биссектрисой данного угла.

Проведем из точки $M$ перпендикуляры $MP$ и $MQ$ к сторонам $h$ и $k$ соответственно. По условию, точка $M$ равноудалена от сторон, следовательно, длины этих перпендикуляров равны: $MP = MQ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle APM$ и $\triangle AQM$. У них общая гипотенуза $AM$. Катеты $MP$ и $MQ$ равны по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle APM$ и $\triangle AQM$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, равны углы, лежащие напротив равных катетов: $\angle PAM = \angle QAM$.

Это означает, что луч $AM$ делит угол $\angle PAQ$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой. Обратная теорема доказана.

Ответ: Утверждение "Каждая точка, лежащая внутри неразвернутого угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе" доказано.