Номер 19, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Вопросы к главе 8 - номер 19, страница 185.

Условие.

19 Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим серединные перпендикуляры к его сторонам $AB$, $BC$ и $AC$ как $m_1$, $m_2$ и $m_3$ соответственно.

Возьмем два серединных перпендикуляра, $m_1$ и $m_2$. Стороны $AB$ и $BC$ не параллельны, так как они являются сторонами треугольника и пересекаются в точке $B$. Прямые $m_1$ и $m_2$, будучи перпендикулярными к непараллельным прямым, также не параллельны. Следовательно, $m_1$ и $m_2$ пересекаются в некоторой точке. Назовем эту точку $O$.

Используем основное свойство серединного перпендикуляра: любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_1$ к стороне $AB$, то расстояние от $O$ до $A$ равно расстоянию от $O$ до $B$. Математически это записывается как $OA = OB$.

Аналогично, так как точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $m_2$ к стороне $BC$, то расстояние от $O$ до $B$ равно расстоянию от $O$ до $C$. То есть, $OB = OC$.

Из двух полученных равенств $OA = OB$ и $OB = OC$ следует, что $OA = OC$.

Это равенство означает, что точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AC$. Согласно свойству, обратному основному, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Следовательно, точка $O$ принадлежит серединному перпендикуляру $m_3$ к стороне $AC$.

Таким образом, мы установили, что точка пересечения двух серединных перпендикуляров ($m_1$ и $m_2$) также лежит на третьем серединном перпендикуляре ($m_3$). Это доказывает, что все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Ответ: Утверждение доказано. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной около этого треугольника окружности.