Номер 687, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 687, страница 178.

Условие.

687 Даны прямая $a$ и две точки $A$ и $B$, лежащие по одну сторону от этой прямой. На прямой $a$ постройте точку $M$, равноудалённую от точек $A$ и $B$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи необходимо найти точку M, которая одновременно принадлежит прямой a и является равноудаленной от точек A и B.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B, — это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Любая точка, лежащая на этом перпендикуляре, находится на одинаковом расстоянии от A и B.

Следовательно, искомая точка M должна лежать на пересечении двух прямых: данной прямой a и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

Построение:
1. Соединить точки A и B отрезком.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AB. Для этого:
а) Из точек A и B как из центров провести две дуги окружности одинакового радиуса R, который больше половины длины отрезка AB ($R > \frac{1}{2}AB$).
б) Через две точки пересечения этих дуг провести прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к AB.
3. Точка пересечения построенного серединного перпендикуляра с прямой a и будет искомой точкой M.

Доказательство:
По построению, точка M принадлежит прямой a. Так как точка M также принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB, то по свойству серединного перпендикуляра она равноудалена от точек A и B, то есть $MA = MB$. Таким образом, построенная точка M удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование:
Задача будет иметь единственное решение, если прямая AB не перпендикулярна прямой a. В этом случае серединный перпендикуляр к AB пересечет прямую a в одной точке. Если же прямая AB перпендикулярна прямой a, то серединный перпендикуляр к AB будет параллелен прямой a, и, поскольку A и B лежат по одну сторону от a, эти прямые не совпадут и не пересекутся. В этом частном случае задача решений не имеет.

Ответ: Искомая точка M является точкой пересечения данной прямой a и серединного перпендикуляра к отрезку AB.