Номер 684, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 684, страница 178.

Условие.

684 Биссектрисы углов при основании $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что прямая $CM$ перпендикулярна к прямой $AB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. По свойству равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны ($AC = BC$), а углы при основании равны ($\angle CAB = \angle CBA$).

По условию, $AM$ — биссектриса угла $\angle CAB$, а $BM$ — биссектриса угла $\angle CBA$. Биссектрисы пересекаются в точке $M$.

Так как $AM$ и $BM$ являются биссектрисами, они делят соответствующие углы пополам: $\angle MAB = \frac{1}{2} \angle CAB$ и $\angle MBA = \frac{1}{2} \angle CBA$.

Поскольку $\angle CAB = \angle CBA$, то и их половины равны: $\angle MAB = \angle MBA$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. В этом треугольнике два угла при стороне $AB$ равны, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, $\triangle AMB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AM = BM$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle CAM$ и $\triangle CBM$. Сравним их элементы:
1. $AC = BC$, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный.
2. $AM = BM$, как было доказано выше.
3. $CM$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $\triangle CAM$ и $\triangle CBM$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов, в частности, $\angle ACM = \angle BCM$. Это означает, что прямая $CM$ является биссектрисой угла $\angle ACB$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведенная из вершины ($C$) к основанию ($AB$), по свойству также является его высотой.

Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Таким образом, прямая $CM$ перпендикулярна прямой $AB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая CM перпендикулярна к прямой AB.