Номер 677, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 3. Четыре замечательные точки треугольника - номер 677, страница 177.

Условие.

677. Биссектрисы внешних углов при вершинах $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что точка $O$ является центром окружности, касающейся прямых $AB$, $BC$, $AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Чтобы доказать, что точка $O$ является центром окружности, касающейся прямых $AB$, $BC$ и $AC$, необходимо доказать, что точка $O$ равноудалена от этих трех прямых.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

По условию задачи, точка $O$ лежит на биссектрисе внешнего угла треугольника $ABC$ при вершине $B$. Этот угол образован прямыми $AB$ и $BC$. Следовательно, точка $O$ равноудалена от этих прямых. Обозначим расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ как $d(O, AB)$, а до прямой $BC$ как $d(O, BC)$. Таким образом, имеем равенство:

$d(O, AB) = d(O, BC)$

Также, по условию, точка $O$ лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине $C$. Этот угол образован прямыми $AC$ и $BC$. Следовательно, точка $O$ равноудалена и от этих прямых. Обозначим расстояние от точки $O$ до прямой $AC$ как $d(O, AC)$. Таким образом, имеем равенство:

$d(O, AC) = d(O, BC)$

Сопоставляя два полученных равенства, приходим к выводу, что точка $O$ равноудалена от всех трех прямых:

$d(O, AB) = d(O, BC) = d(O, AC)$

Поскольку расстояния от точки $O$ до прямых $AB$, $BC$ и $AC$ равны, то точка $O$ является центром окружности, которая касается этих трех прямых. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $O$, как точка пересечения биссектрис двух внешних углов треугольника, равноудалена от трех прямых, содержащих стороны треугольника ($AB$, $BC$, $AC$), и, следовательно, является центром окружности, касающейся этих прямых.