Номер 671, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 671, страница 172.

Условие.

671 Через точку $A$ проведена касательная $AB$ ($B$ — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках $C$ и $D$. Найдите $CD$, если:

a) $AB = 4$ см, $AC = 2$ см;

б) $AB = 5$ см, $AD = 10$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Теорема гласит, что квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Пусть $AB$ — касательная, а $AD$ — секущая, где $C$ и $D$ — точки пересечения с окружностью, причем точка $C$ лежит между $A$ и $D$. Тогда согласно теореме, справедливо равенство:

$AB^2 = AC \cdot AD$

Длина отрезка $CD$ находится как разность длин отрезков $AD$ и $AC$: $CD = AD - AC$.

а)

Дано: $AB = 4$ см, $AC = 2$ см.

Подставим известные значения в формулу $AB^2 = AC \cdot AD$:

$4^2 = 2 \cdot AD$

$16 = 2 \cdot AD$

Отсюда найдем длину отрезка $AD$:

$AD = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь можем найти длину отрезка $CD$:

$CD = AD - AC = 8 - 2 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

б)

Дано: $AB = 5$ см, $AD = 10$ см.

Подставим известные значения в формулу $AB^2 = AC \cdot AD$:

$5^2 = AC \cdot 10$

$25 = AC \cdot 10$

Отсюда найдем длину отрезка $AC$:

$AC = \frac{25}{10} = 2.5$ см.

Теперь можем найти длину отрезка $CD$:

$CD = AD - AC = 10 - 2.5 = 7.5$ см.

Ответ: 7.5 см.