Номер 664, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 664, страница 171.

Условие.

664 Прямая $AM$ — касательная к окружности, $AB$ — хорда этой окружности. Докажите, что угол $\angle MAB$ измеряется половиной дуги $\stackrel{\huge\frown}{AB}$, расположенной внутри угла $\angle MAB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим все возможные случаи расположения хорды AB.

Случай 1. Хорда AB является диаметром окружности.

В этом случае хорда AB проходит через центр окружности O. По свойству касательной, радиус OA, проведенный в точку касания A, перпендикулярен касательной AM. Следовательно, угол между касательной и хордой-диаметром является прямым: $\angle MAB = 90^\circ$.

Дуга AB в этом случае является полуокружностью, и ее градусная мера равна $180^\circ$. Половина дуги AB равна $\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, $\angle MAB = \frac{1}{2} \smile AB$. Утверждение для данного случая доказано.

Случай 2. Хорда AB не является диаметром.

Пусть O — центр окружности. Проведем радиусы OA и OB. Так как OA и OB равны как радиусы одной окружности, треугольник AOB является равнобедренным с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике AOB углы при основании равны. Обозначим их величину через $\alpha$: $\angle OAB = \angle OBA = \alpha$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на меньшую дугу AB, равен: $\angle AOB = 180^\circ - 2\alpha$.

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Следовательно, градусная мера меньшей дуги AB (обозначим $\smile AB_{м}$) равна $\smile AB_{м} = 180^\circ - 2\alpha$.

По свойству касательной, радиус OA перпендикулярен касательной AM в точке касания A, то есть $\angle OAM = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим два угла, которые хорда AB образует с касательной AM.

а) Острый угол.
Острый угол между касательной и хордой равен разности между прямым углом $\angle OAM$ и углом $\angle OAB$. Обозначим его $\angle M'AB$.
$\angle M'AB = \angle OAM - \angle OAB = 90^\circ - \alpha$.
Сравним этот угол с половиной меньшей дуги AB:
$\frac{1}{2} \smile AB_{м} = \frac{1}{2}(180^\circ - 2\alpha) = 90^\circ - \alpha$.
Следовательно, $\angle M'AB = \frac{1}{2} \smile AB_{м}$. Утверждение доказано для острого угла.

б) Тупой угол.
Тупой угол $\angle MAB$ является смежным с острым углом $\angle M'AB$. Он равен сумме прямого угла $\angle OAM$ и угла $\angle OAB$.
$\angle MAB = \angle OAM + \angle OAB = 90^\circ + \alpha$.
Этот угол заключает в себе большую дугу AB (обозначим $\smile AB_{б}$). Ее градусная мера равна $360^\circ$ минус градусная мера меньшей дуги:
$\smile AB_{б} = 360^\circ - \smile AB_{м} = 360^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 180^\circ + 2\alpha$.
Найдем половину большей дуги AB:
$\frac{1}{2} \smile AB_{б} = \frac{1}{2}(180^\circ + 2\alpha) = 90^\circ + \alpha$.
Следовательно, $\angle MAB = \frac{1}{2} \smile AB_{б}$. Утверждение доказано и для тупого угла.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них доказали, что угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол MAB, образованный касательной AM и хордой AB, измеряется половиной градусной меры дуги AB, заключенной между его сторонами.