Номер 658, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 658, страница 171.

Условие.

658 Через точку A к данной окружности проведены касательная $AB$ ($B$ — точка касания) и секущая $AD$, проходящая через центр $O$ ($D$ — точка на окружности, $O$ лежит между $A$ и $D$). Найдите $\angle BAD$ и $\angle ADB$, если $\cup BD = 110^{\circ}20'$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, $AB$ — касательная к окружности в точке $B$, а $AD$ — секущая, проходящая через центр окружности $O$.

Радиус $OB$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $AB$. Следовательно, треугольник $ABO$ является прямоугольным, в котором $\angle ABO = 90^\circ$.

Угол $\angle BOD$ является центральным углом, который опирается на дугу $BD$. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. По условию, градусная мера дуги $BD$ равна $110^\circ20'$, следовательно, $\angle BOD = 110^\circ20'$.

Так как секущая $AD$ проходит через центр $O$, точки $A$, $O$, $D$ лежат на одной прямой. Из условия, что $O$ лежит между $A$ и $D$, следует, что углы $\angle AOB$ и $\angle BOD$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$. Найдем $\angle AOB$:
$\angle AOB = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 110^\circ20' = 179^\circ60' - 110^\circ20' = 69^\circ40'$.

Нахождение $\angle BAD$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Угол $\angle BAD$ — это тот же угол, что и $\angle BAO$.
$\angle BAD = \angle BAO = 90^\circ - \angle AOB$
$\angle BAD = 90^\circ - 69^\circ40' = 89^\circ60' - 69^\circ40' = 20^\circ20'$.

Нахождение $\angle ADB$
Рассмотрим треугольник $OBD$. Стороны $OB$ и $OD$ равны как радиусы одной окружности, поэтому треугольник $OBD$ является равнобедренным с основанием $BD$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ODB = \angle OBD$. Угол $\angle ADB$ — это тот же угол, что и $\angle ODB$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle ODB + \angle OBD + \angle BOD = 180^\circ$
$2 \cdot \angle ADB + 110^\circ20' = 180^\circ$
$2 \cdot \angle ADB = 180^\circ - 110^\circ20' = 69^\circ40'$
$\angle ADB = \frac{69^\circ40'}{2} = 34^\circ50'$.

Ответ: $\angle BAD = 20^\circ20'$, $\angle ADB = 34^\circ50'$.