Номер 651, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 651, страница 170.

Условие.

651 Хорды $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ равны.

a) Докажите, что две дуги с концами $A$ и $B$ соответственно равны двум дугам с концами $C$ и $D$.

б) Найдите дуги с концами $C$ и $D$, если $\angle AOB=112^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $. Стороны $ OA, OB, OC $ и $ OD $ равны как радиусы одной и той же окружности с центром в точке $ O $. По условию, хорды $ AB $ и $ CD $ также равны.

Таким образом, треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $ равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников):

$ OA = OC = R $
$ OB = OD = R $
$ AB = CD $ (по условию)
Следовательно, $ \triangle AOB \cong \triangle COD $.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих им центральных углов: $ \angle AOB = \angle COD $.

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Каждая хорда стягивает две дуги: меньшую и большую.

Меньшая дуга, стягиваемая хордой $ AB $, (обозначим $ \cup AB $) равна по величине $ \angle AOB $. Аналогично, меньшая дуга $ \cup CD $ равна $ \angle COD $. Поскольку центральные углы равны, то равны и стягиваемые ими меньшие дуги: $ \cup AB = \cup CD $.

Большая дуга с концами $ A $ и $ B $ равна $ 360^\circ - \cup AB $, а большая дуга с концами $ C $ и $ D $ равна $ 360^\circ - \cup CD $. Так как меньшие дуги равны, то и большие дуги также равны.

Следовательно, две дуги с концами $ A $ и $ B $ соответственно равны двум дугам с концами $ C $ и $ D $.

Ответ: утверждение доказано.

б)

Как было доказано в пункте а), из равенства хорд $ AB=CD $ следует равенство центральных углов $ \angle AOB = \angle COD $.

По условию дано, что $ \angle AOB = 112^\circ $, значит, $ \angle COD = 112^\circ $.

Меньшая дуга с концами $ C $ и $ D $ имеет градусную меру, равную величине центрального угла $ \angle COD $, который на нее опирается.

Меньшая дуга $ \cup CD = 112^\circ $.

Большая дуга с теми же концами дополняет меньшую дугу до полной окружности ($ 360^\circ $):

Большая дуга $ \cup CD = 360^\circ - 112^\circ = 248^\circ $.

Ответ: $112^\circ$ и $248^\circ$.