Номер 647, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 647, страница 167.

Условие.

647 Отрезок $AH$ — перпендикуляр, проведённый из точки $A$ к прямой, проходящей через центр $O$ окружности радиуса 3 см. Является ли прямая $AH$ касательной к окружности, если:

a) $OA = 5$ см, $AH = 4$ см;

б) $\angle HAO = 45^\circ$, $OA = 4$ см;

в) $\angle HAO = 30^\circ$, $OA = 6$ см?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию, отрезок AH — перпендикуляр, проведённый из точки A к прямой, проходящей через центр O окружности. Пусть H — основание этого перпендикуляра. Тогда треугольник AHO является прямоугольным с прямым углом при вершине H ($ \angle AHO = 90^\circ $).

Прямая является касательной к окружности, если расстояние от центра окружности до этой прямой равно её радиусу. Расстояние от центра O до прямой AH равно длине перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AH. Так как $ \angle AHO = 90^\circ $, отрезок OH и есть этот перпендикуляр. Следовательно, расстояние от центра O до прямой AH равно длине отрезка OH.

Радиус окружности по условию R = 3 см. Таким образом, прямая AH будет касательной, если OH = 3 см. Проверим это условие для каждого случая.

а)

Дано: OA = 5 см, AH = 4 см.

В прямоугольном треугольнике AHO гипотенуза OA = 5 см, катет AH = 4 см. По теореме Пифагора найдём второй катет OH:

$ OA^2 = AH^2 + OH^2 $

$ OH^2 = OA^2 - AH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 $

$ OH = \sqrt{9} = 3 $ см.

Поскольку OH = 3 см и радиус R = 3 см, то OH = R. Следовательно, прямая AH является касательной к окружности.

Ответ: да, является.

б)

Дано: $ \angle HAO = 45^\circ $, OA = 4 см.

В прямоугольном треугольнике AHO гипотенуза OA = 4 см, а OH — катет, противолежащий углу $ \angle HAO $. Найдём OH через синус этого угла:

$ \sin(\angle HAO) = \frac{OH}{OA} $

$ OH = OA \cdot \sin(\angle HAO) = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $ см.

Сравним OH с радиусом R = 3 см. $ (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 $, а $ 3^2 = 9 $. Так как $ 8 < 9 $, то $ 2\sqrt{2} < 3 $. Значит, $ OH \neq R $.

Поскольку расстояние от центра до прямой AH не равно радиусу, прямая AH не является касательной (она пересекает окружность в двух точках).

Ответ: нет, не является.

в)

Дано: $ \angle HAO = 30^\circ $, OA = 6 см.

В прямоугольном треугольнике AHO гипотенуза OA = 6 см. Катет OH лежит против угла в $ 30^\circ $. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $ 30^\circ $, равен половине гипотенузы.

$ OH = \frac{1}{2} OA = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 $ см.

Этот же результат можно получить через синус:

$ OH = OA \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

Поскольку OH = 3 см и радиус R = 3 см, то OH = R. Следовательно, прямая AH является касательной к окружности.

Ответ: да, является.