Номер 642, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 642, страница 166.

Условие.

642 ☐ На рисунке 213 $OB=3$ см, $OA=6$ см. Найдите $AB$, $AC$, $\angle 3$ и $\angle 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения задачи предположим, что на рисунке 213 изображена окружность с центром в точке O, к которой из точки A проведены две касательные AB и AC (B и C — точки касания). OB и OC являются радиусами этой окружности.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, отрезки OB и OC перпендикулярны касательным AB и AC соответственно. Это означает, что треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ являются прямоугольными, с прямыми углами $\angle OBA$ и $\angle OCA$.

В этих прямоугольных треугольниках:

• $OB = OC = 3$ см (как радиусы одной окружности).
• $OA$ — общая гипотенуза, $OA = 6$ см.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ равны по катету и гипотенузе. Из их равенства следует, что $AB = AC$ и $\angle AOB = \angle AOC$. В задаче требуется найти $\angle 3$, который соответствует $\angle AOB$, и $\angle 4$, который соответствует $\angle AOC$.

AB

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAB$. Применим теорему Пифагора: $OA^2 = OB^2 + AB^2$.

Подставим известные значения:

$6^2 = 3^2 + AB^2$

$36 = 9 + AB^2$

$AB^2 = 36 - 9 = 27$

$AB = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $AB = 3\sqrt{3}$ см.

AC

Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $AC = AB$. Это также следует из равенства треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$.

$AC = 3\sqrt{3}$ см.

Ответ: $AC = 3\sqrt{3}$ см.

∠3

Угол $\angle 3$ — это угол $\angle AOB$ в прямоугольном треугольнике $\triangle OAB$. Его величину можно найти несколькими способами.

1. Через тригонометрические функции. Для угла $\angle AOB$ известны прилежащий катет $OB=3$ и гипотенуза $OA=6$.

$\cos(\angle AOB) = \frac{OB}{OA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle 3 = 60^\circ$.

2. Через свойство катета, лежащего против угла в $30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OAB$ катет $OB$ равен половине гипотенузы $OA$ ($3 = 6 / 2$). Следовательно, противолежащий этому катету угол $\angle OAB$ равен $30^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому $\angle AOB = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $\angle 3 = 60^\circ$.

∠4

Угол $\angle 4$ — это угол $\angle AOC$. Как было установлено ранее, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ равны. Следовательно, их соответствующие углы также равны.

$\angle 4 = \angle AOC = \angle AOB = \angle 3$

Поскольку $\angle 3 = 60^\circ$, то и $\angle 4 = 60^\circ$.

Ответ: $\angle 4 = 60^\circ$.