Номер 639, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 639, страница 166.

Условие.

639 ☐ Прямая $AB$ касается окружности с центром $O$ радиуса $r$ в точке $B$. Найдите $AB$, если $\angle AOB = 60^{\circ}$, а $r=12$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи прямая $AB$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$, и треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OBA = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известны катет $OB$ (который является радиусом, $r = 12$ см) и прилежащий к нему острый угол $\angle AOB = 60^\circ$. Нам необходимо найти длину второго катета $AB$, который является противолежащим этому углу.

Воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\tan(60^\circ) = \frac{AB}{12}$

Значение тангенса $60^\circ$ является табличным и равно $\sqrt{3}$. Таким образом, получаем уравнение:

$\sqrt{3} = \frac{AB}{12}$

Выражаем $AB$ из этого уравнения:

$AB = 12 \cdot \sqrt{3}$ см.

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.