Номер 640, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 640, страница 166.

Условие.

640 Даны окружность с центром $O$ радиуса 4,5 см и точка $A$. Через точку $A$ проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если $OA = 9$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть B и C — точки касания двух касательных, проведенных из точки A к окружности с центром O. Угол между касательными — это угол $\angle BAC$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что треугольники $\Delta OBA$ и $\Delta OCA$ являются прямоугольными.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta OBA$. В нем:

• $OA$ — гипотенуза, $OA = 9$ см (по условию).
• $OB$ — катет, являющийся радиусом окружности, $OB = 4,5$ см (по условию).

В прямоугольном треугольнике $\Delta OBA$ катет $OB$ равен половине гипотенузы $OA$, так как $\frac{4,5}{9} = \frac{1}{2}$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Следовательно, угол $\angle OAB$, лежащий против катета $OB$, равен $30^\circ$.

$\angle OAB = 30^\circ$.

Треугольники $\Delta OBA$ и $\Delta OCA$ равны по катету ($OB = OC$ как радиусы) и общей гипотенузе ($OA$). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle OAB = \angle OAC$.

Это означает, что луч $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

Следовательно, искомый угол $\angle BAC$ равен удвоенному углу $\angle OAB$:

$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.