Номер 643, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 643, страница 166.

Условие.

643 □ Прямые $AB$ и $AC$ касаются окружности с центром $O$ в точках $B$ и $C$. Найдите $BC$, если $\angle OAB=30^\circ$, $AB=5$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольники $ΔABO$ и $ΔACO$, где $O$ — центр окружности, а $AB$ и $AC$ — касательные.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что треугольники $ΔABO$ и $ΔACO$ являются прямоугольными.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔABO$ и $ΔACO$:

• $OB = OC$ как радиусы одной и той же окружности.
• $AO$ — общая гипотенуза.

Следовательно, $ΔABO = ΔACO$ по гипотенузе и катету.

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $∠OAB = ∠OAC$. По условию $∠OAB = 30°$, значит и $∠OAC = 30°$.

4. Угол $∠BAC$ состоит из двух углов $∠OAB$ и $∠OAC$. Найдем его величину: $∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = 30° + 30° = 60°$.

5. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их отрезки до точек касания равны: $AB = AC$. По условию $AB = 5$ см, следовательно, $AC = 5$ см.

6. Рассмотрим треугольник $ΔABC$. Мы установили, что две его стороны равны ($AB = AC = 5$ см), значит, он равнобедренный. Угол при вершине этого равнобедренного треугольника $∠BAC = 60°$.

7. Равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $60°$, является равносторонним, так как углы при основании также равны по $60°$: $(180° - 60°) / 2 = 60°$.

8. Поскольку $ΔABC$ — равносторонний, все его стороны равны. Таким образом, $BC = AB = AC = 5$ см.

Ответ: 5 см.