Номер 650, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 650, страница 170.

Условие.

650 Радиус окружности с центром O равен 16. Найдите хорду AB, если:

a) $\angle AOB = 60^{\circ}$;

б) $\angle AOB = 90^{\circ}$;

в) $\angle AOB = 180^{\circ}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

В окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R=16$, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами, поэтому $OA = OB = 16$. Треугольник $AOB$, образованный радиусами и хордой $AB$, является равнобедренным. Найдем длину хорды $AB$ для каждого из заданных случаев.

а) Если $\angle AOB = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ угол при вершине равен $60^\circ$. Углы при основании равны, и каждый из них составляет $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Так как все углы треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, следовательно, длина хорды $AB$ равна длине радиуса.
$AB = R = 16$.
Ответ: 16.

б) Если $\angle AOB = 90^\circ$. В этом случае треугольник $AOB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, где радиусы $OA$ и $OB$ являются катетами, а хорда $AB$ — гипотенузой. По теореме Пифагора $AB^2 = OA^2 + OB^2$.
$AB^2 = 16^2 + 16^2 = 2 \cdot 16^2$
$AB = \sqrt{2 \cdot 16^2} = 16\sqrt{2}$.
Ответ: $16\sqrt{2}$.

в) Если $\angle AOB = 180^\circ$. Центральный угол в $180^\circ$ означает, что точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. Таким образом, хорда $AB$ проходит через центр окружности и является её диаметром. Длина диаметра равна двум радиусам.
$AB = 2R = 2 \cdot 16 = 32$.
Ответ: 32.