Номер 656, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 656, страница 171.

Условие.

656 ☐ Хорда $AB$ стягивает дугу, равную $115^\circ$, а хорда $AC$ – дугу в $43^\circ$. Найдите угол $BAC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанного угла в окружность: величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол $∠BAC$ является вписанным, он опирается на дугу $BC$. Его величина вычисляется по формуле:

$∠BAC = \frac{1}{2} \cdot \wideparen{BC}$

Из условия мы знаем градусные меры дуг, стягиваемых хордами $AB$ и $AC$:

$\wideparen{AB} = 115°$

$\wideparen{AC} = 43°$

Так как в условии не указано взаимное расположение точек $B$ и $C$ относительно точки $A$, задача имеет два возможных решения.

Случай 1: Точки B и C расположены по одну сторону от диаметра, проходящего через точку A.

В этом случае дуга $BC$ будет равна разности большей и меньшей дуг, исходящих из точки $A$.

$\wideparen{BC} = \wideparen{AB} - \wideparen{AC} = 115° - 43° = 72°$

Тогда искомый угол равен:

$∠BAC = \frac{1}{2} \cdot \wideparen{BC} = \frac{1}{2} \cdot 72° = 36°$

Ответ: $36°$

Случай 2: Точки B и C расположены по разные стороны от диаметра, проходящего через точку A.

В этом случае дуга $BC$, на которую опирается угол $∠BAC$, будет равна сумме дуг $AB$ и $AC$.

$\wideparen{BC} = \wideparen{AB} + \wideparen{AC} = 115° + 43° = 158°$

Тогда искомый угол равен:

$∠BAC = \frac{1}{2} \cdot \wideparen{BC} = \frac{1}{2} \cdot 158° = 79°$

Ответ: $79°$