Номер 659, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 659, страница 171.

Условие.

659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в окружности проведены две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Эти хорды отсекают на окружности две дуги, заключённые между ними: дугу $AC$ и дугу $BD$. Требуется доказать, что их градусные меры равны, то есть $\cup AC = \cup BD$.

Для доказательства проведём хорду $AD$, которая соединяет концы данных хорд. Эта хорда является секущей по отношению к параллельным прямым, на которых лежат хорды $AB$ и $CD$.

Рассмотрим углы $\angle ADC$ и $\angle DAB$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$. По свойству параллельных прямых, эти углы равны: $$ \angle ADC = \angle DAB $$

С другой стороны, эти углы являются вписанными в окружность.

Вписанный угол $\angle ADC$ опирается на дугу $AC$. По теореме о вписанном угле, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $$ \angle ADC = \frac{1}{2} \cup AC $$

Аналогично, вписанный угол $\angle DAB$ опирается на дугу $BD$. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги $BD$: $$ \angle DAB = \frac{1}{2} \cup BD $$

Так как мы установили, что $\angle ADC = \angle DAB$, мы можем приравнять правые части выражений для этих углов: $$ \frac{1}{2} \cup AC = \frac{1}{2} \cup BD $$

Умножив обе части равенства на 2, получим: $$ \cup AC = \cup BD $$

Таким образом, доказано, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.