Номер 654, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы - номер 654, страница 171.

Условие.

654 ☐ По данным рисунка 222 найдите $x$.

Рис. 222

а) Дуги: $152^\circ$, $80^\circ$. Угол: $x$.

б) Дуги: $125^\circ$, $x$. Угол: $30^\circ$.

в) Дуги: $112^\circ$, $180^\circ$. Угол: $x$.

г) Дуги: $x$, $215^\circ$. Угол: $20^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Угол x является углом, образованным двумя пересекающимися хордами внутри окружности. Величина такого угла равна полусумме величин дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. В данном случае, эти дуги равны $152^\circ$ и $80^\circ$.

Следовательно, мы можем вычислить x по формуле:

$x = \frac{152^\circ + 80^\circ}{2}$

$x = \frac{232^\circ}{2}$

$x = 116^\circ$

Ответ: $116^\circ$.

б)

Угол величиной $30^\circ$ является вписанным углом, так как его вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается. В данном случае, угол $30^\circ$ опирается на дугу x.

Таким образом, справедливо соотношение:

$30^\circ = \frac{1}{2} x$

Отсюда находим x:

$x = 2 \cdot 30^\circ$

$x = 60^\circ$

Дуга в $125^\circ$ является избыточной информацией для нахождения x.

Ответ: $60^\circ$.

в)

Одна из хорд, образующих угол x, является диаметром, так как проходит через центр окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности, каждая из которых равна $180^\circ$.

Угол x — вписанный угол, и он опирается на дугу, которая является частью полуокружности. Другая часть этой полуокружности равна $112^\circ$. Найдем дугу, на которую опирается угол x (обозначим ее как $\alpha$):

$\alpha + 112^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 112^\circ$

$\alpha = 68^\circ$

Величина вписанного угла x равна половине дуги, на которую он опирается:

$x = \frac{1}{2} \alpha$

$x = \frac{68^\circ}{2}$

$x = 34^\circ$

Ответ: $34^\circ$.

г)

Угол величиной $20^\circ$ — это вписанный угол. Он опирается на дугу, величину которой можно найти, умножив угол на 2. Обозначим эту дугу как $\beta$:

$\beta = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

Вся окружность составляет $360^\circ$. Она состоит из трех дуг: дуги x, дуги $\beta$ и дуги, равной $215^\circ$.

Следовательно, мы можем составить уравнение:

$x + \beta + 215^\circ = 360^\circ$

Подставим значение $\beta$:

$x + 40^\circ + 215^\circ = 360^\circ$

$x + 255^\circ = 360^\circ$

$x = 360^\circ - 255^\circ$

$x = 105^\circ$

Ответ: $105^\circ$.