Номер 648, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 648, страница 167.

Условие.

648 Постройте касательную к окружности с центром $O$:

а) параллельную данной прямой;

б) перпендикулярную к данной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) Постройте касательную к окружности с центром O, параллельную данной прямой

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и некоторая прямая $l$. Требуется построить касательную к окружности, которая будет параллельна прямой $l$.

Анализ

Касательная к окружности в некоторой точке перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Пусть искомая касательная $t$ касается окружности в точке $P$. Тогда радиус $OP$ перпендикулярен касательной $t$, то есть $OP \perp t$. По условию задачи, искомая касательная $t$ должна быть параллельна данной прямой $l$, то есть $t \parallel l$. Из двух условий ($OP \perp t$ и $t \parallel l$) следует, что радиус $OP$ должен быть перпендикулярен и прямой $l$ ($OP \perp l$). Следовательно, точка касания $P$ лежит на прямой, проходящей через центр окружности $O$ и перпендикулярной данной прямой $l$.

Алгоритм построения

1. Проведем через центр окружности $O$ прямую $m$, перпендикулярную данной прямой $l$.
2. Прямая $m$ пересечет окружность в двух точках. Обозначим эти точки $P_1$ и $P_2$. Это и будут искомые точки касания.
3. Через точку $P_1$ проведем прямую $t_1$, параллельную прямой $l$ (или, что то же самое, перпендикулярную прямой $m$).
4. Аналогично, через точку $P_2$ проведем прямую $t_2$, параллельную прямой $l$ (перпендикулярную прямой $m$).

Прямые $t_1$ и $t_2$ являются искомыми касательными. По построению они перпендикулярны радиусам $OP_1$ и $OP_2$ в точках на окружности, а значит, являются касательными. Также по построению они параллельны прямой $l$. В общем случае задача имеет два решения.

Ответ: Для построения касательной, параллельной данной прямой $l$, необходимо провести диаметр, перпендикулярный прямой $l$. Касательные, построенные в конечных точках этого диаметра, будут параллельны прямой $l$.

б) Постройте касательную к окружности с центром O, перпендикулярную к данной прямой

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и некоторая прямая $l$. Требуется построить касательную к окружности, которая будет перпендикулярна прямой $l$.

Анализ

Касательная к окружности в точке $P$ перпендикулярна радиусу $OP$ ($OP \perp t$). По условию задачи, искомая касательная $t$ должна быть перпендикулярна данной прямой $l$, то есть $t \perp l$. Если две прямые ($OP$ и $l$) перпендикулярны одной и той же прямой ($t$), то эти две прямые параллельны между собой. Таким образом, $OP \parallel l$. Следовательно, точка касания $P$ лежит на прямой, проходящей через центр окружности $O$ и параллельной данной прямой $l$.

Алгоритм построения

1. Проведем через центр окружности $O$ прямую $m$, параллельную данной прямой $l$.
2. Прямая $m$ пересечет окружность в двух точках. Обозначим эти точки $P_1$ и $P_2$. Это и будут искомые точки касания.
3. Через точку $P_1$ проведем прямую $t_1$, перпендикулярную прямой $l$ (или, что то же самое, перпендикулярную прямой $m$).
4. Аналогично, через точку $P_2$ проведем прямую $t_2$, перпендикулярную прямой $l$ (перпендикулярную прямой $m$).

Прямые $t_1$ и $t_2$ являются искомыми касательными. Они перпендикулярны радиусам $OP_1$ и $OP_2$ (лежащим на прямой $m$), а значит, являются касательными. Так как $m \parallel l$, а $t_1$ и $t_2$ перпендикулярны $m$, то они перпендикулярны и прямой $l$. В общем случае задача имеет два решения.

Ответ: Для построения касательной, перпендикулярной данной прямой $l$, необходимо провести диаметр, параллельный прямой $l$. Касательные, построенные в конечных точках этого диаметра, будут перпендикулярны прямой $l$.