Номер 644, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 644, страница 166.

Условие.

644 Прямые $MA$ и $MB$ касаются окружности с центром $O$ в точках $A$ и $B$. Точка $C$ симметрична точке $O$ относительно точки $B$. Докажите, что $\angle AMC = 3 \angle BMC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Доказательство:
Обозначим $∠BMC = α$.
1. По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой касательной. Так как $MB$ — касательная к окружности в точке $B$, то радиус $OB$ перпендикулярен $MB$. Следовательно, $∠OBM = 90°$, и треугольник $ΔOBM$ является прямоугольным.
2. По условию задачи, точка $C$ симметрична точке $O$ относительно точки $B$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $OC$, и точки $O, B, C$ лежат на одной прямой. Из этого следует, что $OB = BC$.
3. Поскольку точки $O, B, C$ лежат на одной прямой, а прямая $MB$ перпендикулярна отрезку $OB$, то она перпендикулярна и всей прямой $OC$. Таким образом, $∠CBM = 90°$, и треугольник $ΔCBM$ также является прямоугольным.
4. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔOBM$ и $ΔCBM$. Они равны по двум катетам:
- $MB$ — общий катет.
- $OB = BC$ (из условия симметрии).
Следовательно, $ΔOBM ≅ ΔCBM$.
5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $∠BMO = ∠BMC$. Так как мы обозначили $∠BMC = α$, то и $∠BMO = α$.
6. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки ($M$), прямая, соединяющая эту точку с центром окружности ($MO$), является биссектрисой угла между касательными ($∠AMB$). Таким образом, $∠AMB = 2∠BMO$.
7. Подставив найденное значение $∠BMO = α$, получаем $∠AMB = 2α$.
8. Угол $∠AMC$ является суммой углов $∠AMB$ и $∠BMC$:
$∠AMC = ∠AMB + ∠BMC$
Подставим выражения для этих углов через $α$:
$∠AMC = 2α + α = 3α$
9. Так как $α = ∠BMC$, то мы приходим к равенству $∠AMC = 3∠BMC$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.