Номер 646, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 646, страница 167.

Условие.

646. В треугольнике $ABC$ угол $B$ прямой. Докажите, что:

а) прямая $BC$ является касательной к окружности с центром $A$ радиуса $AB$;

б) прямая $AB$ является касательной к окружности с центром $C$ радиуса $CB$;

в) прямая $AC$ не является касательной к окружностям с центром $B$ и радиусами $BA$ и $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ угол $B$ является прямым, следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Это означает, что катеты $AB$ и $BC$ перпендикулярны друг другу: $AB \perp BC$.

Для доказательства воспользуемся признаком касательной: прямая является касательной к окружности, если она проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

а)

Рассмотрим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R = AB$.

Точка $B$ лежит на этой окружности, так как её расстояние до центра $A$ равно радиусу $AB$.

Прямая $BC$ проходит через точку $B$ на окружности. По условию, $\angle ABC = 90^\circ$, что означает, что радиус $AB$ перпендикулярен прямой $BC$ ($AB \perp BC$).

Таким образом, по признаку касательной, прямая $BC$ является касательной к окружности с центром $A$ и радиусом $AB$.

Ответ: Доказано.

б)

Рассмотрим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R = CB$.

Точка $B$ лежит на этой окружности, так как её расстояние до центра $C$ равно радиусу $CB$.

Прямая $AB$ проходит через точку $B$ на окружности. По условию, $\angle ABC = 90^\circ$, что означает, что радиус $CB$ перпендикулярен прямой $AB$ ($CB \perp AB$).

Таким образом, по признаку касательной, прямая $AB$ является касательной к окружности с центром $C$ и радиусом $CB$.

Ответ: Доказано.

в)

Рассмотрим две окружности с центром в точке $B$: первая с радиусом $R_1 = BA$ и вторая с радиусом $R_2 = BC$.

1. Для окружности с центром $B$ и радиусом $BA$: Точка $A$ лежит на этой окружности. Если бы прямая $AC$ была касательной к этой окружности в точке $A$, то радиус $BA$ должен был бы быть перпендикулярен прямой $AC$, то есть $\angle BAC = 90^\circ$.

2. Для окружности с центром $B$ и радиусом $BC$: Точка $C$ лежит на этой окружности. Если бы прямая $AC$ была касательной к этой окружности в точке $C$, то радиус $BC$ должен был бы быть перпендикулярен прямой $AC$, то есть $\angle BCA = 90^\circ$.

В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$. Так как $\angle B = 90^\circ$, то сумма двух других углов $\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку стороны треугольника имеют положительную длину, углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ являются острыми, то есть $\angle BAC < 90^\circ$ и $\angle BCA < 90^\circ$.

Следовательно, прямая $AC$ не перпендикулярна ни радиусу $BA$ в точке $A$, ни радиусу $BC$ в точке $C$. Значит, прямая $AC$ не является касательной ни к одной из этих окружностей.

Ответ: Доказано.