Номер 641, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 641, страница 166.

Условие.

641 Отрезки $AB$ и $AC$ являются отрезками касательных к окружности с центром $O$, проведёнными из точки $A$. Найдите угол $BAC$, если середина отрезка $AO$ лежит на окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть $r$ — радиус окружности с центром в точке $O$. Отрезки $AB$ и $AC$ являются касательными к окружности, проведенными из точки $A$, где $B$ и $C$ — точки касания. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$, и треугольник $\triangle OBA$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OBA$:

• $OB$ — катет, равный радиусу окружности ($OB = r$).
• $AO$ — гипотенуза.

По условию задачи, середина отрезка $AO$ лежит на окружности. Пусть $M$ — середина отрезка $AO$. Это означает, что расстояние от точки $M$ до центра окружности $O$ равно радиусу, то есть $OM = r$.

Поскольку $M$ является серединой $AO$, то длина гипотенузы $AO$ в два раза больше длины отрезка $OM$:
$AO = 2 \cdot OM = 2r$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBA$. Мы знаем, что катет $OB = r$ и гипотенуза $AO = 2r$. Катет $OB$ равен половине гипотенузы $AO$. В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла в $30^\circ$. Следовательно, угол $\angle OAB = 30^\circ$.

Этот же результат можно получить с помощью тригонометрии:
$\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{AO} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$
Отсюда $\angle OAB = 30^\circ$.

Отрезок $AO$, соединяющий точку, из которой проведены касательные, с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными. Таким образом:
$\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB$
Подставим найденное значение угла $\angle OAB$:
$\angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$