Номер 637, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 637, страница 166.

Условие.

637 ☐ Угол между диаметром $AB$ и хордой $AC$ равен $30^\circ$. Через точку $C$ проведена касательная, пересекающая прямую $AB$ в точке $D$. Докажите, что треугольник $ACD$ равнобедренный.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для доказательства того, что треугольник $ACD$ является равнобедренным, мы покажем, что у него равны два угла, а именно $\angle DAC$ и $\angle ADC$.

1. Пусть $O$ — центр окружности, которой принадлежит диаметр $AB$. Проведем радиус $OC$.

2. Рассмотрим треугольник $AOC$. Стороны $OA$ и $OC$ равны как радиусы одной и той же окружности ($OA = OC$). Следовательно, треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OCA = \angle OAC$. По условию задачи угол между диаметром $AB$ и хордой $AC$ равен $30^\circ$, то есть $\angle BAC = \angle OAC = 30^\circ$. Отсюда следует, что $\angle OCA = 30^\circ$.

4. Прямая $CD$ является касательной к окружности в точке $C$. Радиус $OC$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $\angle OCD = 90^\circ$.

5. Рассмотрим треугольник $OCD$. Он является прямоугольным, так как $\angle OCD = 90^\circ$. Чтобы найти угол $\angle ODC$ (который также является углом $\angle ADC$), найдем сначала угол $\angle COD$.

6. Угол $\angle AOC$ в треугольнике $AOC$ можно найти, зная два других угла: $\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

7. Точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой (диаметре), и точка $D$ лежит на продолжении этой прямой. Следовательно, углы $\angle AOC$ и $\angle COD$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.

$\angle COD = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

8. Теперь в прямоугольном треугольнике $OCD$ мы знаем угол $\angle COD = 60^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому:

$\angle ODC = 90^\circ - \angle COD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

9. Мы нашли угол $\angle ADC = \angle ODC = 30^\circ$. В треугольнике $ACD$ угол $\angle DAC$ дан по условию и равен $30^\circ$.

Таким образом, в треугольнике $ACD$ два угла равны: $\angle DAC = \angle ADC = 30^\circ$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ACD$ является равнобедренным, так как углы при его основании $AD$ равны ($\angle DAC = \angle ADC = 30^\circ$).