Номер 632, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Окружность. Параграф 1. Касательная к окружности - номер 632, страница 166.

Условие.

632 ◻ Расстояние от точки $A$ до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку $A$, является секущей по отношению к данной окружности.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По условию, расстояние от точки $A$ до центра $O$ меньше радиуса $R$, то есть $OA < R$. Это означает, что точка $A$ находится внутри круга, ограниченного данной окружностью.

Рассмотрим произвольную прямую $l$, которая проходит через точку $A$. Нам нужно доказать, что эта прямая является секущей, то есть пересекает окружность в двух различных точках.

Взаимное расположение прямой и окружности определяется расстоянием от центра окружности до этой прямой. Опустим перпендикуляр из центра $O$ на прямую $l$ и назовем его основание точкой $H$. Длина этого перпендикуляра, $OH$, и есть искомое расстояние от центра окружности до прямой $l$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAH$. Поскольку $OH$ является перпендикуляром к прямой $l$, на которой лежат точки $A$ и $H$, то угол $\angle OHA$ является прямым ($\angle OHA = 90^\circ$). Следовательно, $\triangle OAH$ — прямоугольный треугольник.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше или равна любому из катетов. В $\triangle OAH$ гипотенузой является отрезок $OA$ (как сторона, лежащая напротив прямого угла), а $OH$ — это катет. Следовательно, справедливо неравенство: $OH \le OA$.

Итак, мы имеем два неравенства:
1) $OH \le OA$ (так как в прямоугольном треугольнике катет не длиннее гипотенузы).
2) $OA < R$ (по условию задачи).
Объединив их, мы получаем итоговое неравенство: $OH < R$.

Поскольку расстояние от центра окружности $O$ до прямой $l$ (равное $OH$) строго меньше радиуса $R$, прямая $l$ пересекает окружность в двух различных точках. Это означает, что любая прямая, проходящая через точку $A$, является секущей по отношению к данной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку для любой прямой, проходящей через точку А, расстояние от центра окружности до этой прямой оказывается меньше радиуса, то любая такая прямая является секущей.