Номер 628, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 628, страница 161.

Условие.

628 Даны три отрезка, длины которых соответственно равны $a$, $b$ и $c$. Постройте отрезок, длина которого равна $\frac{ab}{c}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения отрезка, длина которого равна $x = \frac{ab}{c}$, используется метод, основанный на обобщённой теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках). Искомое равенство можно представить в виде пропорции, например, $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$. Эта пропорция указывает на соотношение сторон в подобных треугольниках, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Построение

1. Начертим произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его стороны (лучи) как $p$ и $q$.
2. На луче $p$, используя циркуль, отложим от вершины $O$ отрезок $OC$ длиной $c$.
3. На том же луче $p$ отложим от вершины $O$ отрезок $OA$ длиной $a$.
4. На луче $q$, используя циркуль, отложим от вершины $O$ отрезок $OB$ длиной $b$.
5. Соединим точки $C$ и $B$ с помощью линейки, получив отрезок $CB$.
6. Через точку $A$ построим прямую, параллельную прямой $CB$. (Это стандартное построение, которое выполняется с помощью циркуля и линейки, например, через построение равных соответственных углов).
7. Точку пересечения построенной прямой с лучом $q$ обозначим как $X$.
8. Отрезок $OX$ является искомым отрезком.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle OCB$ и $\triangle OAX$, которые образовались в результате нашего построения. По построению прямая $AX$ параллельна прямой $CB$. Согласно обобщенной теореме Фалеса (или лемме о подобных треугольниках), прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный исходному. Таким образом, $\triangle OAX \sim \triangle OCB$.

Подобие треугольников следует из равенства двух углов:

• $\angle AOX$ (или $\angle COB$) является общим для обоих треугольников.
• $\angle OAX = \angle OCB$ как соответственные углы при параллельных прямых $AX$ и $CB$ и секущей $p$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{OA}{OC} = \frac{OX}{OB}$

По построению мы задали длины отрезков: $OA = a$, $OC = c$ и $OB = b$. Подставим эти значения в полученное соотношение:

$\frac{a}{c} = \frac{OX}{b}$

Выражая из этой пропорции длину отрезка $OX$, получаем:

$OX = \frac{a \cdot b}{c}$

Следовательно, построенный отрезок $OX$ имеет искомую длину.

Ответ: Отрезок $OX$, полученный в результате описанного алгоритма построения, является искомым отрезком, так как его длина равна $\frac{ab}{c}$.