Номер 621, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 621, страница 161.

Условие.

621. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ сумма оснований равна $b$, диагональ $AC$ равна $a$, $\angle ACB = \alpha$. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Площадь трапеции $ABCD$ можно найти как сумму площадей треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$, на которые ее разделяет диагональ $AC$.

1. Найдем площадь треугольника $\triangle ABC$. Используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB)$ Согласно условию, $AC = a$ и $\angle ACB = \alpha$. Подставив эти значения, получаем: $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} a \cdot BC \cdot \sin(\alpha)$

2. Аналогично, площадь треугольника $\triangle ACD$ равна: $S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$

3. В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ параллельны. Диагональ $AC$ является секущей при параллельных прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ равны. Поскольку $\angle ACB = \alpha$, то и $\angle CAD = \alpha$.

4. Подставим значение угла $\angle CAD$ в формулу для площади треугольника $\triangle ACD$: $S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} a \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

5. Площадь всей трапеции $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} a \cdot BC \cdot \sin(\alpha) + \frac{1}{2} a \cdot AD \cdot \sin(\alpha)$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} a \sin(\alpha)$ за скобки: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} a \sin(\alpha) (BC + AD)$

6. По условию задачи сумма оснований трапеции $AD + BC = b$. Подставим это значение в полученное выражение для площади: $S_{ABCD} = \frac{1}{2} a \sin(\alpha) \cdot b = \frac{1}{2} ab \sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{1}{2} ab \sin(\alpha)$