Номер 619, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 619, страница 161.

Условие.

619 ◻ Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что$\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан треугольник $ABC$. Продолжим сторону $BA$ за вершину $A$ до некоторой точки $F$. Тогда угол $\angle FAC$ является внешним углом треугольника при вершине $A$. По условию задачи, $AD$ — биссектриса этого угла, пересекающая прямую $BC$ в точке $D$. Это означает, что $\angle FAD = \angle DAC$.

Для доказательства проведем через точку $C$ прямую, параллельную биссектрисе $AD$. Пусть эта прямая пересекает прямую, содержащую сторону $AB$, в точке $E$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $CE$ и секущие, их пересекающие:

• При пересечении секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle ACE = \angle DAC$.
• При пересечении секущей $BE$ (прямая $AB$) образуются равные соответственные углы: $\angle AEC = \angle FAD$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle FAC$, то $\angle FAD = \angle DAC$. Из этого и двух приведенных выше равенств следует, что $\angle ACE = \angle AEC$.

Так как в треугольнике $ACE$ два угла равны, он является равнобедренным с основанием $CE$. Следовательно, равны и стороны, лежащие против этих углов: $AC = AE$.

Теперь обратимся к треугольнику $BDA$. Прямая $CE$ параллельна его стороне $AD$ и пересекает прямые, содержащие две другие его стороны ($BD$ и $BA$), в точках $C$ и $E$. Согласно обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), справедливо соотношение:

$\frac{BD}{CD} = \frac{BA}{EA}$

Ранее мы доказали, что $EA = AC$. Подставим это в полученную пропорцию:

$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$

Используя свойство пропорции (поменяв местами средние члены), приведем это равенство к виду, который требуется доказать:

$\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение, что $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$, доказано.