Номер 614, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 614, страница 160.

Условие.

614 □ Диагонали прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом $A$ взаимно перпендикулярны. Основание $AB$ равно 6 см, а боковая сторона $AD$ равна 4 см. Найдите $DC$, $DB$ и $CB$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB$ и $DC$, и прямыми углами при вершинах $A$ и $D$. Из условия задачи имеем:

• $\angle A = 90^{\circ}$, следовательно, $AD \perp AB$. Так как $AB \parallel DC$, то $AD \perp DC$, и $\angle D = 90^{\circ}$.
• Основание $AB = 6$ см.
• Боковая сторона (высота) $AD = 4$ см.
• Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

Требуется найти длины второго основания $DC$, диагонали $DB$ и боковой стороны $CB$.

DC

Для прямоугольной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны, существует свойство: квадрат высоты равен произведению оснований. Докажем это.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABD$ ($\angle A = 90^{\circ}$). Пусть $\angle ABD = \alpha$. Тогда из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем $\tan(\alpha) = \frac{AD}{AB}$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Так как $AC \perp BD$, то $\triangle AOD$ является прямоугольным ($\angle AOD = 90^{\circ}$). Сумма острых углов в нём равна $90^{\circ}$, то есть $\angle DAO + \angle ADO = 90^{\circ}$.

Угол $\angle ADO$ является частью угла $\angle ADB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$, $\angle ADB = 90^{\circ} - \angle ABD = 90^{\circ} - \alpha$. Тогда $\angle DAO = 90^{\circ} - \angle ADO = 90^{\circ} - (90^{\circ} - \alpha) = \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ ($\angle D = 90^{\circ}$). В нём $\tan(\angle CAD) = \frac{DC}{AD}$. Поскольку $\angle CAD$ это тот же угол, что и $\angle DAO$, то $\tan(\angle CAD) = \tan(\alpha)$.

Приравнивая два выражения для $\tan(\alpha)$, получаем: $\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{AD}$ Отсюда $AD^2 = AB \cdot DC$.

Подставим известные значения: $AB = 6$ см и $AD = 4$ см. $4^2 = 6 \cdot DC$ $16 = 6 \cdot DC$ $DC = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ см.

Ответ: $DC = \frac{8}{3}$ см.

DB

Диагональ $DB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$. Катетами являются основание $AB$ и высота $AD$. По теореме Пифагора: $DB^2 = AD^2 + AB^2$ $DB^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$ $DB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ см.

Ответ: $DB = 2\sqrt{13}$ см.

CB

Для нахождения длины стороны $CB$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AB$. Поскольку $AD \perp AB$ и $CH \perp AB$, то $AD \parallel CH$. Также $DC \parallel AH$. Следовательно, $ADCH$ — прямоугольник. Отсюда $CH = AD = 4$ см и $AH = DC = \frac{8}{3}$ см.

Найдем длину отрезка $HB$: $HB = AB - AH = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHB$ ($\angle H = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора: $CB^2 = CH^2 + HB^2$ $CB^2 = 4^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = 16 + \frac{100}{9} = \frac{144}{9} + \frac{100}{9} = \frac{244}{9}$ $CB = \sqrt{\frac{244}{9}} = \frac{\sqrt{244}}{3} = \frac{\sqrt{4 \cdot 61}}{3} = \frac{2\sqrt{61}}{3}$ см.

Ответ: $CB = \frac{2\sqrt{61}}{3}$ см.