Номер 609, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 609, страница 160.

Условие.

609. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ так, что $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$. Докажите, что $AD$ — биссектриса треугольника $ABC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Это утверждение является теоремой, обратной теореме о биссектрисе угла треугольника. Докажем его.

Дано:

В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ взята точка $D$ такая, что выполняется соотношение:

$\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$

Доказать:

$AD$ — биссектриса угла $BAC$.

Доказательство:

1. Перепишем данное в условии соотношение, используя основное свойство пропорции (можно поменять местами средние члены):

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

2. Выполним дополнительное построение. На продолжении стороны $BA$ за точку $A$ отложим отрезок $AE$, равный стороне $AC$. Соединим точки $E$ и $C$.

3. Рассмотрим полученный треугольник $AEC$. Так как по построению $AE = AC$, то треугольник $AEC$ является равнобедренным с основанием $EC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle AEC = \angle ACE$.

4. Вернемся к соотношению из пункта 1: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Заменим в нем сторону $AC$ на равный ей по построению отрезок $AE$:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE}$

5. Теперь рассмотрим треугольник $EBC$. Соотношение, полученное в пункте 4, показывает, что прямая $AD$ делит стороны $BC$ и $BE$ (сторона $BE = BA + AE$) этого треугольника на пропорциональные части. По теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса), если прямая пересекает две стороны треугольника и делит их на пропорциональные отрезки, то эта прямая параллельна третьей стороне. Следовательно, $AD \parallel EC$.

6. Так как прямые $AD$ и $EC$ параллельны, то при пересечении их секущими образуются равные углы:

• $\angle BAD = \angle BEC$ (или $\angle AEC$) как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $EC$ и секущей $BE$.
• $\angle CAD = \angle ACE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $EC$ и секущей $AC$.

7. Теперь объединим полученные результаты. Из пункта 3 мы знаем, что $\angle AEC = \angle ACE$. Из пункта 6 мы установили, что $\angle BAD = \angle AEC$ и $\angle CAD = \angle ACE$. Отсюда напрямую следует, что:

$\angle BAD = \angle CAD$

Поскольку отрезок $AD$ делит угол $BAC$ на два равных угла, он является биссектрисой этого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.