Номер 611, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 611, страница 160.

Условие.

611. Докажите, что медиана $AM$ треугольника $ABC$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $BC$, концы которого лежат на сторонах $AB$ и $AC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$, где $M$ — середина стороны $BC$. Пусть $DE$ — произвольный отрезок, параллельный стороне $BC$, концы которого лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно ($D \in AB$, $E \in AC$, $DE \parallel BC$). Обозначим точку пересечения медианы $AM$ и отрезка $DE$ как $K$. Требуется доказать, что $K$ является серединой отрезка $DE$, то есть $DK = KE$.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ADK$ и $\triangle ABM$.

1. Угол $\angle DAK$ является общим для обоих треугольников.

2. Так как $DE \parallel BC$ по условию, то $\angle ADK = \angle ABM$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $\triangle ADK$ подобен треугольнику $\triangle ABM$ по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон: $$ \frac{DK}{BM} = \frac{AK}{AM} $$

Теперь рассмотрим другую пару треугольников: $\triangle AKE$ и $\triangle AMC$.

1. Угол $\angle KAE$ является общим для обоих треугольников.

2. Так как $DE \parallel BC$, то $\angle AEK = \angle ACM$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольник $\triangle AKE$ подобен треугольнику $\triangle AMC$ по двум углам. Из их подобия также следует пропорциональность сторон: $$ \frac{KE}{MC} = \frac{AK}{AM} $$

Мы получили два выражения для отношения $\frac{AK}{AM}$. Приравняем их левые части: $$ \frac{DK}{BM} = \frac{KE}{MC} $$

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BM = MC$. Подставим это в наше равенство: $$ \frac{DK}{BM} = \frac{KE}{BM} $$

Умножив обе части этого равенства на длину отрезка $BM$ (которая не равна нулю), получим: $$ DK = KE $$

Это означает, что точка $K$ делит отрезок $DE$ пополам. Таким образом, медиана $AM$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $BC$, концы которого лежат на сторонах $AB$ и $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.