Номер 615, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 615, страница 160.

Условие.

615* Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $a$ и $b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями $BC = a$ и $AD = b$. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Через точку O проведен отрезок MN, параллельный основаниям, где точка M лежит на боковой стороне AB, а точка N — на боковой стороне CD. Требуется найти длину отрезка MN, которая равна сумме длин отрезков MO и ON.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Они подобны по двум углам: $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные, и $\angle CBO = \angle ADO$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD. Из подобия следует, что отношение их сторон равно: $\frac{BO}{DO} = \frac{BC}{AD} = \frac{a}{b}$.

Используя это соотношение, найдем отношение части диагонали ко всей диагонали. Так как $BD = BO + DO$ и $DO = BO \cdot \frac{b}{a}$, то $BD = BO + BO \cdot \frac{b}{a} = BO \left(1 + \frac{b}{a}\right) = BO \frac{a+b}{a}$. Отсюда получаем $\frac{BO}{BD} = \frac{a}{a+b}$. Аналогично, можно показать, что $\frac{DO}{BD} = \frac{b}{a+b}$.

Теперь найдем длину отрезка MO. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Так как MO параллелен AD по условию, то треугольник $\triangle MBO$ подобен треугольнику $\triangle ABD$. Из их подобия следует: $\frac{MO}{AD} = \frac{BO}{BD}$. Подставив известные значения, получим: $\frac{MO}{b} = \frac{a}{a+b}$, откуда $MO = \frac{ab}{a+b}$.

Далее найдем длину отрезка ON. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Так как ON параллелен BC по условию, то треугольник $\triangle DON$ подобен треугольнику $\triangle DBC$. Из их подобия следует: $\frac{ON}{BC} = \frac{DO}{DB}$. Подставив известные значения, получим: $\frac{ON}{a} = \frac{b}{a+b}$, откуда $ON = \frac{ab}{a+b}$.

Наконец, находим длину всего отрезка MN:
$MN = MO + ON = \frac{ab}{a+b} + \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$.

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$