Номер 613, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 613, страница 160.

Условие.

613 Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, если:

а) $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BM}{B_1M_1}$, где $BM$ и $B_1M_1$ — медианы треугольников;

б) $\angle A = \angle A_1$, $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BH}{B_1H_1}$, где $BH$ и $B_1H_1$ — высоты треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

a)

Пусть даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию, $BM$ и $B_1M_1$ — медианы этих треугольников, и выполняется соотношение: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BM}{B_1M_1} $$ Обозначим это отношение как $k$.

Поскольку $BM$ и $B_1M_1$ — медианы, они делят стороны $AC$ и $A_1C_1$ пополам. То есть $M$ — середина $AC$, а $M_1$ — середина $A_1C_1$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Найдем отношение сторон $AM$ и $A_1M_1$: $$ \frac{AM}{A_1M_1} = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}A_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $$ Из условия мы знаем, что $\frac{AC}{A_1C_1} = k$. Значит, $\frac{AM}{A_1M_1} = k$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABM$ и $A_1B_1M_1$. Для них выполняются следующие соотношения: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BM}{B_1M_1} = \frac{AM}{A_1M_1} = k $$ Следовательно, треугольники $ABM$ и $A_1B_1M_1$ подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).

Из подобия треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих углов: $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$, что то же самое, что $\angle A = \angle A_1$.

Теперь вернемся к исходным треугольникам $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ (по условию)
• $\angle A = \angle A_1$ (как доказано выше)

Таким образом, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Подобие треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано.

б)

Пусть даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию, $BH$ и $B_1H_1$ — высоты этих треугольников, и выполняются соотношения: $$ \angle A = \angle A_1, \quad \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BH}{B_1H_1} $$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$. В них $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$, так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты.

У этих треугольников:

• $\angle A = \angle A_1$ (по условию)
• $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$

Следовательно, треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BH}{B_1H_1} $$

По условию задачи мы также имеем: $$ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BH}{B_1H_1} $$

Приравнивая два полученных выражения, получаем: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $$

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы имеем:

• $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ (как доказано выше)
• $\angle A = \angle A_1$ (по условию)

Таким образом, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Подобие треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано.