Номер 612, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 612, страница 160.

Условие.

612 Два шеста AB и CD разной длины a и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы A и D, B и C соединены верёвками, которые пересекаются в точке O. По данным рисунка докажите, что:

a) $ \frac{m}{d} = \frac{x}{b} $ и $ \frac{n}{d} = \frac{x}{a} $;

б) $ \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1 $.

Найдите x и докажите, что x не зависит от расстояния d между шестами AB и CD.

Рис. 210

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 10.

а) Рассмотрим треугольники $ \triangle ACD $ и $ \triangle AKO $ (где K - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AC). Поскольку шесты AB и CD установлены вертикально, то $ AB \perp AC $ и $ CD \perp AC $. Отрезок с длиной $ x $ также является высотой, поэтому он перпендикулярен AC. Следовательно, $ OK \parallel CD $.
Так как $ OK \parallel CD $, то треугольники $ \triangle AKO $ и $ \triangle ACD $ подобны по двум углам ($ \angle KAC $ — общий, $ \angle AKO = \angle ACD = 90^\circ $).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$ \frac{AK}{AC} = \frac{OK}{DC} $
Подставим известные из рисунка обозначения: $ AK = m $, $ AC = d $, $ OK = x $, $ DC = b $.
$ \frac{m}{d} = \frac{x}{b} $. Первое равенство доказано.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle CAB $ и $ \triangle CKO $.
Так как $ OK \parallel AB $ (оба перпендикулярны AC), то треугольники $ \triangle CKO $ и $ \triangle CAB $ подобны по двум углам ($ \angle KCA $ — общий, $ \angle CKO = \angle CAB = 90^\circ $).
Из подобия следует:
$ \frac{CK}{CA} = \frac{OK}{AB} $
Подставим обозначения: $ CK = n $, $ CA = d $, $ OK = x $, $ AB = a $.
$ \frac{n}{d} = \frac{x}{a} $. Второе равенство доказано.
Ответ: Равенства $ \frac{m}{d} = \frac{x}{b} $ и $ \frac{n}{d} = \frac{x}{a} $ доказаны.

б) Воспользуемся равенствами, доказанными в пункте а):
1) $ \frac{m}{d} = \frac{x}{b} $
2) $ \frac{n}{d} = \frac{x}{a} $
Сложим эти два равенства:
$ \frac{m}{d} + \frac{n}{d} = \frac{x}{b} + \frac{x}{a} $
В левой части уравнения можно вынести общий знаменатель $ d $:
$ \frac{m+n}{d} = \frac{x}{a} + \frac{x}{b} $
Из рисунка видно, что расстояние $ d $ равно сумме его частей $ m $ и $ n $, то есть $ d = m + n $.
Подставим это в левую часть:
$ \frac{d}{d} = \frac{x}{a} + \frac{x}{b} $
$ 1 = \frac{x}{a} + \frac{x}{b} $
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $ \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1 $ доказано.

Найдите x и докажите, что x не зависит от расстояния d между шестами AB и CD.
Воспользуемся равенством, доказанным в пункте б), чтобы найти $ x $:
$ \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1 $
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $ ab $:
$ \frac{xb + xa}{ab} = 1 $
Вынесем $ x $ за скобки в числителе:
$ \frac{x(a+b)}{ab} = 1 $
Теперь выразим $ x $:
$ x(a+b) = ab $
$ x = \frac{ab}{a+b} $
Полученное выражение для $ x $ зависит только от длин шестов $ a $ и $ b $. В формуле отсутствует переменная $ d $, которая обозначает расстояние между шестами. Это доказывает, что высота $ x $ точки пересечения веревок не зависит от расстояния $ d $ между шестами.
Ответ: $ x = \frac{ab}{a+b} $. Эта величина не зависит от расстояния $ d $.