Номер 606, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 606, страница 159.

Условие.

606 Биссектрисы $MD$ и $NK$ треугольника $MNP$ пересекаются в точке $O$. Найдите отношение $OK : ON$, если $MN = 5$ см, $NP = 3$ см, $MP = 7$ см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Рассмотрим треугольник $MNP$. Согласно условию, $MD$ и $NK$ являются биссектрисами углов $M$ и $N$ соответственно. Нам даны длины сторон треугольника: $MN = 5$ см, $NP = 3$ см, $MP = 7$ см.

1. Применим свойство биссектрисы к биссектрисе $NK$ в треугольнике $MNP$. Биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Точка $K$ лежит на стороне $MP$. Таким образом, получаем соотношение:

$\frac{MK}{KP} = \frac{MN}{NP}$

Подставим известные значения длин сторон:

$\frac{MK}{KP} = \frac{5}{3}$

Мы также знаем, что $MK + KP = MP = 7$ см. Из пропорции $\frac{MK}{KP} = \frac{5}{3}$ можно выразить $KP$ через $MK$: $KP = \frac{3}{5}MK$. Подставим это в равенство $MK + KP = 7$:

$MK + \frac{3}{5}MK = 7$

$\frac{8}{5}MK = 7$

$MK = \frac{7 \cdot 5}{8} = \frac{35}{8}$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $MNK$. Отрезок $MO$ является частью биссектрисы $MD$ угла $M$ треугольника $MNP$, поэтому $MO$ является биссектрисой угла $NMK$ в треугольнике $MNK$.

Применим свойство биссектрисы к биссектрисе $MO$ в треугольнике $MNK$. Она делит противолежащую сторону $NK$ на отрезки $ON$ и $OK$, пропорциональные прилежащим сторонам $MN$ и $MK$.

$\frac{OK}{ON} = \frac{MK}{MN}$

3. Подставим в это соотношение найденное значение $MK = \frac{35}{8}$ см и известное значение $MN = 5$ см:

$\frac{OK}{ON} = \frac{35/8}{5} = \frac{35}{8 \cdot 5} = \frac{7}{8}$

Следовательно, искомое отношение $OK : ON$ равно $7 : 8$.

Ответ: $7:8$.