Номер 607, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Дополнительные задачи к главе 7 - номер 607, страница 159.

Условие.

607 ■ Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как $4 : 3$, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. По условию, $BH = 30$ см. Так как треугольник равнобедренный, высота $BH$ является также медианой, поэтому $H$ — середина $AC$.

Из условия известно, что отношение основания к боковой стороне равно $4:3$, то есть $\frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Пусть $AC = 4x$, тогда $AB = 3x$. Поскольку $H$ — середина $AC$, то $AH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(4x) = 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора, $AB^2 = AH^2 + BH^2$. Подставим известные значения:

$(3x)^2 = (2x)^2 + 30^2$

$9x^2 = 4x^2 + 900$

$5x^2 = 900$

$x^2 = \frac{900}{5} = 180$

$x = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$

Теперь мы можем найти длины сторон $AB$ и $AH$:

$AB = 3x = 3 \cdot 6\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$ см.

$AH = 2x = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

Проведем биссектрису $AM$ угла при основании $A$. Пусть она пересекает высоту $BH$ в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAH$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону ($BH$) на отрезки ($BO$ и $OH$), пропорциональные прилежащим сторонам ($AB$ и $AH$).

Следовательно, мы можем записать отношение:

$\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH}$

Подставим найденные длины сторон:

$\frac{BO}{OH} = \frac{18\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Таким образом, точка $O$ делит высоту $BH$ в отношении $3:2$, считая от вершины $B$. Мы знаем, что общая длина высоты $BH = BO + OH = 30$ см.

Пусть $BO = 3y$ и $OH = 2y$. Тогда:

$3y + 2y = 30$

$5y = 30$

$y = 6$

Теперь найдем длины искомых отрезков:

$BO = 3y = 3 \cdot 6 = 18$ см.

$OH = 2y = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: биссектриса делит высоту на отрезки 18 см и 12 см.