Номер 18, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 18, страница 159.

Условие.

18 Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Для нахождения и обоснования значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60° мы воспользуемся геометрическим методом, рассмотрев два специальных прямоугольных треугольника.

Значения для угла 45°

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник. В таком треугольнике катеты равны, а острые углы составляют по 45°. Пусть длина каждого катета равна $a$.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$:

$c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь, используя определения тригонометрических функций (отношение сторон в прямоугольном треугольнике), найдем их значения для угла 45°:

$\sin{45°} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos{45°} = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan{45°} = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{a} = 1$

Ответ: $\sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan{45°} = 1$.

Для нахождения значений для углов 30° и 60° рассмотрим равносторонний треугольник со стороной $a$. Все его углы равны 60°. Проведём в нём высоту, которая разделит его на два равных прямоугольных треугольника. Высота в равностороннем треугольнике является также медианой и биссектрисой.

В результате мы получаем прямоугольный треугольник со следующими характеристиками:

• Углы: 30°, 60° и 90°.

• Гипотенуза (бывшая сторона равностороннего треугольника): $a$.

• Катет, противолежащий углу 30° (половина основания): $\frac{a}{2}$.

• Катет, противолежащий углу 60° (высота), который находим по теореме Пифагора: $h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Значения для угла 30°

Используя полученный прямоугольный треугольник, найдем значения для угла 30°. Для этого угла катет $\frac{a}{2}$ является противолежащим, а катет $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ — прилежащим.

$\sin{30°} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$

$\cos{30°} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan{30°} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin{30°} = \frac{1}{2}$, $\cos{30°} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan{30°} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Значения для угла 60°

Используя тот же прямоугольный треугольник, найдем значения для угла 60°. Для этого угла катет $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ является противолежащим, а катет $\frac{a}{2}$ — прилежащим.

$\sin{60°} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{60°} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$

$\tan{60°} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a/2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos{60°} = \frac{1}{2}$, $\tan{60°} = \sqrt{3}$.