Номер 11, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 11, страница 159.

Условие.

11 Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Утверждения о пропорциональных отрезках, также известные как метрические соотношения в прямоугольном треугольнике, устанавливают связь между сторонами, высотой, проведенной из вершины прямого угла, и проекциями катетов на гипотенузу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Проведем высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. Отрезок $AD$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу, а отрезок $BD$ — проекцией катета $BC$ на гипотенузу. Высота $CD$ делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$. Все три треугольника ($\triangle ABC$, $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$) подобны друг другу по признаку подобия по двум углам.

Утверждение 1: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) для проекций катетов на гипотенузу.

Математически это выражается формулой: $CD^2 = AD \cdot BD$.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$.
В $\triangle ABC$: $\angle A + \angle B = 90^\circ$, откуда $\angle B = 90^\circ - \angle A$.
В $\triangle ACD$: $\angle A + \angle ACD = 90^\circ$, откуда $\angle ACD = 90^\circ - \angle A$.
Следовательно, $\angle B = \angle ACD$. Поскольку прямоугольные треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$ имеют по равному острому углу ($\angle B = \angle ACD$), они подобны: $\triangle ACD \sim \triangle CBD$. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон (катетов, лежащих против равных углов, и катетов, прилежащих к равным углам): $$ \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{BD} $$ Применяя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $$ CD^2 = AD \cdot BD $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна квадратному корню из произведения проекций катетов на гипотенузу ($h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c}$).

Утверждение 2: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) для гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Математически это выражается двумя формулами: $AC^2 = AB \cdot AD$ и $BC^2 = AB \cdot BD$.

Доказательство:
1. Докажем для катета $AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$. Оба треугольника прямоугольные ($\angle ADC = \angle ACB = 90^\circ$) и имеют общий острый угол $\angle A$. Следовательно, $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон (гипотенуз и катетов, прилежащих к общему углу): $$ \frac{AC}{AB} = \frac{AD}{AC} $$ Отсюда получаем: $$ AC^2 = AB \cdot AD $$ 2. Докажем для катета $BC$. Рассмотрим треугольники $\triangle CBD$ и $\triangle ABC$. Оба треугольника прямоугольные ($\angle CDB = \angle ACB = 90^\circ$) и имеют общий острый угол $\angle B$. Следовательно, $\triangle CBD \sim \triangle ABC$ по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{BC}{AB} = \frac{BD}{BC} $$ Отсюда получаем: $$ BC^2 = AB \cdot BD $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу ($a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$).