Номер 4, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Вопросы к главе 7 - номер 4, страница 158.

Условие.

4. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 10.

Формулировка теоремы

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство

Пусть даны два подобных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению подобных треугольников, их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны с коэффициентом подобия $k$:

$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$.

Площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна $S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)$.

Теперь найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)}{\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin(\angle A_1)}$

Так как треугольники подобны, то их соответственные углы равны: $\angle A = \angle A_1$. Следовательно, и синусы этих углов равны: $\sin(\angle A) = \sin(\angle A_1)$. Сократим дробь на $\frac{1}{2}$ и на равные синусы:

$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \cdot \frac{AC}{A_1C_1}$

Из определения подобных треугольников известно, что $\frac{AB}{A_1B_1} = k$ и $\frac{AC}{A_1C_1} = k$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k \cdot k = k^2$

Таким образом, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Теорема доказана.

Ответ: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.