Номер 600, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 600, страница 158.

Условие.

600 Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 209)?

Рис. 209

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Поперечное сечение насыпи представляет собой равнобедренную трапецию. Верхнее основание этой трапеции равно ширине дороги в верхней части (60 м), высота трапеции равна высоте насыпи (12 м), а углы при нижнем основании равны углам наклона откосов (60°). Нам необходимо найти длину нижнего основания трапеции.

Чтобы найти длину нижнего основания, мы можем мысленно разбить трапецию на центральный прямоугольник и два одинаковых прямоугольных треугольника по бокам, опустив высоты из вершин верхнего основания на нижнее.

Ширина центрального прямоугольника будет равна длине верхнего основания, то есть 60 м.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образовавшихся по бокам. В этом треугольнике:

• Один катет — это высота насыпи, $h = 12$ м.
• Прилежащий к этому катету угол у основания трапеции равен $60°$.
• Второй катет (обозначим его как $x$) — это та часть нижнего основания, на которую оно длиннее верхнего с одной стороны.

Мы можем найти длину катета $x$ с помощью тангенса угла. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

$\tan(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{x}$

Подставим известные значения:

$\tan(60°) = \frac{12}{x}$

Выразим $x$:

$x = \frac{12}{\tan(60°)}$

Так как значение $\tan(60°) = \sqrt{3}$, получим:

$x = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$x = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ м.

Ширина насыпи в нижней части (длина нижнего основания) равна сумме ширины верхней части и длин двух таких отрезков $x$ (по одному с каждой стороны).

Ширина нижнего основания = $60 + 2x = 60 + 2 \cdot (4\sqrt{3}) = 60 + 8\sqrt{3}$ м.

Ответ: $60 + 8\sqrt{3}$ м.