Номер 594, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 594, страница 158.

Условие.

594 □ В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $b$, а противолежащий угол равен $\beta$.

а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через $b$ и $\beta$.

б) Найдите их значения, если $b = 10$ см, $\beta = 50^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть в прямоугольном треугольнике один катет равен $b$, а противолежащий ему острый угол равен $\beta$. Обозначим второй катет как $a$, противолежащий ему угол как $\alpha$, и гипотенузу как $c$.

1. Угол, противолежащий другому катету ($\alpha$):
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Таким образом:
$\alpha + \beta = 90^\circ$
Отсюда выражаем $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - \beta$

2. Другой катет ($a$):
Тангенс угла $\beta$ — это отношение противолежащего катета ($b$) к прилежащему ($a$). Однако удобнее использовать котангенс:
$\cot(\beta) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{a}{b}$
Отсюда выражаем $a$:
$a = b \cdot \cot(\beta)$

3. Гипотенуза ($c$):
Синус угла $\beta$ — это отношение противолежащего катета ($b$) к гипотенузе ($c$):
$\sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
Отсюда выражаем $c$:
$c = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Ответ: Другой катет равен $b \cdot \cot(\beta)$, противолежащий ему угол равен $90^\circ - \beta$, гипотенуза равна $\frac{b}{\sin(\beta)}$.

б)

Найдем численные значения для другого катета, противолежащего ему угла и гипотенузы, если $b = 10$ см и $\beta = 50^\circ$.

1. Угол, противолежащий другому катету ($\alpha$):
$\alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$

2. Другой катет ($a$):
$a = 10 \cdot \cot(50^\circ) \approx 10 \cdot 0.8391 \approx 8.39$ см

3. Гипотенуза ($c$):
$c = \frac{10}{\sin(50^\circ)} \approx \frac{10}{0.7660} \approx 13.05$ см

Ответ: Другой катет $\approx 8.39$ см, противолежащий ему угол $40^\circ$, гипотенуза $\approx 13.05$ см.