Номер 589, страница 154 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 589, страница 154.

Условие.

589 Постройте треугольник ABC по углу A и стороне BC, если известно, что $AB : AC = 2 : 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Для построения искомого треугольника $ABC$ воспользуемся методом геометрических мест точек (ГМТ).

Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Отрезок $BC$ должен быть виден из точки $A$ под заданным углом $A$. Геометрическим местом таких точек является дуга окружности, проходящая через точки $B$ и $C$.

2. Отношение расстояний от точки $A$ до точек $B$ и $C$ должно быть равно $2:1$, то есть $AB/AC = 2$. Геометрическим местом таких точек является окружность Аполлония.

Следовательно, искомая вершина $A$ является точкой пересечения этих двух ГМТ.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Точка $A$ лежит на пересечении двух множеств точек:

1. Множество точек, из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha = \angle A$. Это две симметричные дуги окружностей, опирающиеся на хорду $BC$.

2. Множество точек $M$, для которых выполняется соотношение $MB/MC = 2$. Это окружность Аполлония с центром на прямой $BC$. Чтобы найти эту окружность, найдем две точки на прямой $BC$, удовлетворяющие этому условию. Пусть точка $D$ лежит на отрезке $BC$ и делит его в отношении $2:1$, т.е. $BD/DC = 2$. Пусть точка $E$ лежит на продолжении отрезка $BC$ за точку $C$ и также удовлетворяет условию $EB/EC = 2$. Из этого следует, что $EC+CB = 2 \cdot EC$, откуда $EC=CB$. Тогда искомая окружность Аполлония — это окружность, построенная на отрезке $DE$ как на диаметре.

Пересечение этих двух окружностей (дуги и окружности Аполлония) даст нам искомую вершину $A$.

Ответ:

Построение

1. Строим отрезок $BC$ заданной длины.

2. Строим ГМТ (1) — дугу окружности, из каждой точки которой отрезок $BC$ виден под заданным углом $A$. Для этого:

   • От луча $BC$ в некоторой полуплоскости откладываем угол, равный данному углу $A$, с вершиной в точке $B$. Получим луч $BM$.

   • Восстанавливаем перпендикуляр к лучу $BM$ в точке $B$.

   • Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BC$.

   • Точка $O_1$, являющаяся пересечением этих двух перпендикуляров, будет центром искомой окружности. Строим дугу этой окружности с центром в $O_1$ и радиусом $O_1B$ в полуплоскости, не содержащей луч $BM$.

3. Строим ГМТ (2) — окружность Аполлония для точек $B$, $C$ и отношения $2:1$. Для этого:

   • На прямой $BC$ находим точку $D$, делящую отрезок $BC$ в отношении $BD:DC = 2:1$. (Для этого можно разделить отрезок $BC$ на три равные части).

   • На продолжении отрезка $BC$ за точку $C$ откладываем отрезок $CE$, равный $BC$. Точка $E$ будет второй искомой точкой, так как $EB = EC+CB = 2EC$.

   • Находим середину $O_2$ отрезка $DE$.

   • Строим окружность с центром в точке $O_2$ и радиусом $O_2D$. Это и есть окружность Аполлония.

4. Находим точку (или точки) $A$ пересечения построенной дуги из шага 2 и окружности Аполлония из шага 3.

5. Соединяем точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ:

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Сторона $BC$ имеет заданную длину по построению.

2. Вершина $A$ лежит на дуге окружности, построенной так, что угол, опирающийся на хорду $BC$, равен заданному углу $A$. Следовательно, $\angle BAC$ равен заданному углу.

3. Вершина $A$ лежит на окружности Аполлония для точек $B$, $C$ и отношения $2:1$. По свойству этой окружности, для любой ее точки $M$ выполняется соотношение $MB/MC = 2$. Следовательно, $AB/AC = 2$, или $AB:AC = 2:1$.

Таким образом, построенный треугольник является искомым.

Ответ:

Исследование

Задача имеет решение, если построенные дуга окружности и окружность Аполлония пересекаются.

Число решений зависит от числа точек пересечения этих двух окружностей:

• Если окружности не пересекаются, то задача не имеет решений.

• Если окружности касаются в одной точке, то задача имеет одно решение.

• Если окружности пересекаются в двух точках, то задача имеет два решения. Эти два решения представляют собой два треугольника, симметричных относительно прямой $BC$, то есть они будут равны друг другу. В этом случае говорят, что задача имеет одно решение с точностью до конгруэнтности.

Возможность построения зависит от соотношения между длиной стороны $BC$ и величиной угла $A$. Например, если угол $A$ слишком большой, а сторона $BC$ мала, окружности могут не пересечься.

Ответ: