Номер 586, страница 154 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 586, страница 154.

Условие.

586 Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть даны два угла, $\alpha$ и $\beta$, и отрезок $l$. По условию, биссектриса проведена из вершины меньшего из углов. Без ограничения общности, будем считать, что $\alpha < \beta$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, а длина биссектрисы угла $A$, обозначим ее $AD$, равна $l$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$. Тогда $AD = l$ и $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны:

• сторона $AD = l$;
• угол $\angle B = \beta$;
• угол $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$.

Сумма углов в треугольнике $ABD$ равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол: $\angle ADB = 180^\circ - (\angle B + \angle BAD) = 180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABD$ по стороне $AD$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle DAB = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ADB = 180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2}$. После построения треугольника $ABD$ у нас будут определены вершины $A$, $B$ и точка $D$.

Вершина $C$ искомого треугольника должна лежать на прямой, проходящей через точки $B$ и $D$. Также вершина $C$ должна лежать на луче, выходящем из точки $A$ так, что $\angle DAC = \frac{\alpha}{2}$, и луч $AC$ не совпадает с лучом $AB$. Точка $C$ будет найдена как пересечение этих двух прямых (луча $AC$ и прямой $BD$).

Отсюда вытекает следующий план построения.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки строим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$ (для этого делим данный угол $\alpha$ пополам).
2. Строим угол $\delta = 180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2}$. Для этого сначала строим угол, равный сумме $\beta + \frac{\alpha}{2}$, а затем строим смежный с ним угол.
3. Проводим произвольную прямую и на ней откладываем отрезок $AD$, равный данной длине $l$.
4. От луча $AD$ в некоторую полуплоскость откладываем угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, и проводим луч $AX$. Таким образом, $\angle DAX = \frac{\alpha}{2}$.
5. От луча $DA$ в ту же полуплоскость откладываем угол, равный $\delta$, и проводим луч $DY$. Таким образом, $\angle ADY = \delta = 180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2}$.
6. Точку пересечения лучей $AX$ и $DY$ обозначаем $B$. Треугольник $ABD$ построен.
7. Проводим прямую через точки $B$ и $D$.
8. От луча $AD$ в полуплоскость, не содержащую точку $B$, откладываем угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, и проводим луч $AZ$. Таким образом, $\angle DAZ = \frac{\alpha}{2}$.
9. Точку пересечения прямой $BD$ и луча $AZ$ обозначаем $C$.
10. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$, так как $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Длина биссектрисы $AD$ равна $l$ по построению.

Теперь найдем угол $B$ в построенном треугольнике. В треугольнике $ABD$ по построению $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ADB = 180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2}$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - \angle BAD - \angle ADB = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - (180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - 180^\circ + \beta + \frac{\alpha}{2} = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи: его углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно, и биссектриса угла $A$ имеет длину $l$.

Исследование

Задача имеет решение тогда, когда возможно выполнить все шаги построения. Построение треугольника $ABD$ возможно, если сумма двух его углов $\angle BAD$ и $\angle ADB$ меньше $180^\circ$. Эта сумма равна $\frac{\alpha}{2} + (180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \beta$. Так как $\beta$ — угол треугольника, то $\beta > 0$, и $180^\circ - \beta < 180^\circ$. Следовательно, точка $B$ всегда существует и определяется однозначно.

Пересечение луча $AC$ и прямой $BD$ (точка $C$) существует, если эти прямые не параллельны. Они не могут быть параллельны, так как это привело бы к тому, что $\alpha + \beta = 180^\circ$, что невозможно для углов одного треугольника.

Единственное условие для существования самого искомого треугольника — это чтобы сумма данных углов была меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Если это условие выполнено, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Искомый треугольник построен согласно приведенному алгоритму. Построение всегда возможно и решение единственно, если сумма заданных углов меньше $180^\circ$.