Номер 588, страница 154 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 588, страница 154.

Условие.

588 Постройте треугольник $ABC$ по углу $A$ и медиане $AM$, если известно, что $AB : AC = 2 : 3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Анализ

Задача на построение решается методом подобия. Идея состоит в том, чтобы сначала построить треугольник, подобный искомому, а затем отмасштабировать его до нужных размеров, используя заданную длину медианы.

Предположим, искомый треугольник $ABC$ построен. В нем известны угол $A$, медиана $AM$ и отношение сторон $AB : AC = 2 : 3$.

Построим вспомогательный треугольник $AB_1C_1$, в котором $\angle B_1AC_1 = \angle A$, а стороны $AB_1$ и $AC_1$ выбраны в заданном отношении, например, $AB_1 = 2e$ и $AC_1 = 3e$, где $e$ — произвольно выбранный единичный отрезок. Такой треугольник можно построить по двум сторонам и углу между ними.

Треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны, так как у них общий угол $A$ и стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{AB}{AC} = \frac{2}{3} = \frac{AB_1}{AC_1}$.

Пусть $AM_1$ — медиана вспомогательного треугольника $AB_1C_1$. Из подобия треугольников следует, что их соответствующие элементы пропорциональны. Значит, отношение медиан равно коэффициенту подобия $k$: $\frac{AM}{AM_1} = k$.

Поскольку длина медианы $AM$ задана, а длину медианы $AM_1$ можно измерить в построенном треугольнике, мы можем найти коэффициент подобия $k = \frac{AM}{AM_1}$. Искомый треугольник $ABC$ является образом треугольника $AB_1C_1$ при гомотетии (преобразовании подобия) с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$. Это и определяет план построения.

Построение

1. Построить угол, равный данному углу $A$, с вершиной в точке $A$. Обозначим его стороны лучами $p$ и $q$.
2. Выбрать произвольный единичный отрезок $e$. На луче $p$ отложить от вершины $A$ отрезок $AB_1$ длиной $2e$.
3. На луче $q$ отложить от вершины $A$ отрезок $AC_1$ длиной $3e$.
4. Соединить точки $B_1$ и $C_1$, получив вспомогательный треугольник $AB_1C_1$.
5. Построить середину $M_1$ отрезка $B_1C_1$ (например, с помощью циркуля и линейки, найдя пересечение двух дуг равного радиуса с центрами в $B_1$ и $C_1$).
6. Провести луч $AM_1$. Отрезок $AM_1$ является медианой треугольника $AB_1C_1$.
7. На луче $AM_1$ отложить от точки $A$ отрезок $AM$, длина которого равна заданной длине медианы.
8. Через точку $M$ провести прямую $l$, параллельную прямой $B_1C_1$.
9. Точки пересечения прямой $l$ с лучами $p$ и $q$ обозначить соответственно $B$ и $C$.
10. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Угол $\angle BAC$ равен данному углу $A$ по построению.

2. По построению прямая $BC$ параллельна прямой $B_1C_1$. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $A$ и коэффициентом $k = \frac{AM}{AM_1}$. Эта гомотетия переводит точку $M_1$ в точку $M$. Так как $BC \parallel B_1C_1$, то образом треугольника $AB_1C_1$ при этой гомотетии является треугольник $ABC$.

3. Из подобия следует, что отношение сторон сохраняется: $\frac{AB}{AC} = \frac{AB_1}{AC_1} = \frac{2e}{3e} = \frac{2}{3}$.

4. Поскольку $M_1$ — середина стороны $B_1C_1$, ее образ $M$ при гомотетии является серединой образа стороны $B_1C_1$, то есть стороны $BC$. Следовательно, $AM$ — медиана треугольника $ABC$. По построению ее длина равна заданной.

Таким образом, все условия задачи выполнены.

Исследование

Данная задача имеет решение, если заданные величины позволяют построить треугольник.
Угол $A$ должен быть в пределах $0^\circ < A < 180^\circ$.
Длина медианы $AM$ должна быть положительной величиной, $AM > 0$.
При выполнении этих условий все шаги построения однозначно выполнимы:

• Построение вспомогательного треугольника $AB_1C_1$ всегда возможно.
• Нахождение его медианы $AM_1$ всегда возможно.
• Откладывание отрезка $AM$ и построение параллельной прямой $BC$ — стандартные построения, которые всегда выполнимы и приводят к единственному результату.

Следовательно, при указанных условиях задача всегда имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Искомый треугольник строится методом подобия, как описано в пункте «Построение». Задача всегда имеет единственное решение, если $0^\circ < \angle A < 180^\circ$ и длина медианы $AM > 0$.