Номер 585, страница 154 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач - номер 585, страница 154.

Условие.

585 Начертите отрезок $AB$ и разделите его в отношении:

а) $2 : 5$;

б) $3 : 7$;

в) $4 : 3$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Данная задача на построение решается с помощью циркуля и линейки на основе обобщенной теоремы Фалеса. Теорема утверждает, что если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то на другой стороне угла также отложатся равные отрезки. Это свойство позволяет делить отрезок в заданном отношении.

Общий алгоритм деления отрезка $AB$ в отношении $m:n$:

1. Начертить заданный отрезок $AB$.
2. Из точки $A$ провести произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.
3. На луче $l$, начиная от точки $A$, отложить $m+n$ равных между собой отрезков произвольной длины. Обозначим концы этих отрезков $C_1, C_2, \dots, C_{m+n}$.
4. Соединить точку $C_{m+n}$ (конец последнего отрезка) с точкой $B$.
5. Найти на луче $l$ точку $C_m$, которая является концом $m$-го отрезка (считая от точки $A$).
6. Через точку $C_m$ провести прямую, параллельную отрезку $BC_{m+n}$.
7. Точка пересечения этой прямой с отрезком $AB$ (назовем ее $M$) и будет искомой точкой. Согласно теореме о пропорциональных отрезках, $AM:MB = AC_m:C_mC_{m+n} = m:n$.

Применим этот алгоритм для каждого из заданных отношений.

а)

Требуется разделить отрезок $AB$ в отношении $2:5$. В этом случае $m=2$, $n=5$. Общее количество равных частей на вспомогательном луче составляет $m+n = 2+5=7$.

Построение:
1. Чертим произвольный отрезок $AB$.
2. Из точки $A$ проводим луч $l$ под удобным углом к $AB$.
3. На луче $l$ от точки $A$ откладываем семь равных отрезков. Обозначим их концы $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7$.
4. Соединяем точку $C_7$ с точкой $B$.
5. Через точку $C_2$ (конец второго отрезка) проводим прямую, параллельную $BC_7$.
6. Точка $M$, в которой эта прямая пересекает отрезок $AB$, делит его в отношении $AM:MB = 2:5$.

Ответ: Построена точка $M$ на отрезке $AB$ такая, что $AM:MB = 2:5$.

б)

Требуется разделить отрезок $AB$ в отношении $3:7$. В этом случае $m=3$, $n=7$. Общее количество равных частей на вспомогательном луче составляет $m+n = 3+7=10$.

Построение:
1. Чертим произвольный отрезок $AB$.
2. Из точки $A$ проводим луч $l$.
3. На луче $l$ от точки $A$ откладываем десять равных отрезков. Обозначим их концы $C_1, C_2, \dots, C_{10}$.
4. Соединяем точку $C_{10}$ с точкой $B$.
5. Через точку $C_3$ (конец третьего отрезка) проводим прямую, параллельную $BC_{10}$.
6. Точка $N$, в которой эта прямая пересекает отрезок $AB$, делит его в отношении $AN:NB = 3:7$.

Ответ: Построена точка $N$ на отрезке $AB$ такая, что $AN:NB = 3:7$.

в)

Требуется разделить отрезок $AB$ в отношении $4:3$. В этом случае $m=4$, $n=3$. Общее количество равных частей на вспомогательном луче составляет $m+n = 4+3=7$.

Построение:
1. Чертим произвольный отрезок $AB$.
2. Из точки $A$ проводим луч $l$.
3. На луче $l$ от точки $A$ откладываем семь равных отрезков. Обозначим их концы $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7$.
4. Соединяем точку $C_7$ с точкой $B$.
5. Через точку $C_4$ (конец четвертого отрезка) проводим прямую, параллельную $BC_7$.
6. Точка $P$, в которой эта прямая пересекает отрезок $AB$, делит его в отношении $AP:PB = 4:3$.

Ответ: Построена точка $P$ на отрезке $AB$ такая, что $AP:PB = 4:3$.