Номер 592, страница 157 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 592, страница 157.

Условие.

592 Постройте угол $\alpha$, если:

a) $tg \alpha = \frac{1}{2}$;

б) $tg \alpha = \frac{3}{4}$;

в) $cos \alpha = 0,2$;

г) $cos \alpha = \frac{2}{3}$;

д) $sin \alpha = \frac{1}{2}$;

е) $sin \alpha = 0,4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

а) Для построения угла $\alpha$, тангенс которого равен $\frac{1}{2}$, необходимо построить прямоугольный треугольник, у которого отношение противолежащего катета к прилежащему катету равно $\frac{1}{2}$.
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На одной стороне угла отложим отрезок $CA$, равный 2 условным единицам. Это будет прилежащий катет для искомого угла.
3. На другой стороне угла отложим отрезок $CB$, равный 1 условной единице. Это будет противолежащий катет.
4. Соединим точки $A$ и $B$. В результате получим прямоугольный треугольник $ABC$.
Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как по определению тангенса в прямоугольном треугольнике $\tg(\angle CAB) = \frac{CB}{CA} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Построенный угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$.

б) Для построения угла $\alpha$, тангенс которого равен $\frac{3}{4}$, построим прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4 условным единицам.
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На одной стороне угла отложим отрезок $CA$ длиной 4 условные единицы (прилежащий катет).
3. На другой стороне угла отложим отрезок $CB$ длиной 3 условные единицы (противолежащий катет).
4. Соединим точки $A$ и $B$. В полученном прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle CAB$ будет искомым углом $\alpha$, так как $\tg(\angle CAB) = \frac{CB}{CA} = \frac{3}{4}$.
Ответ: Построенный угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$.

в) Значение косинуса $0,2$ представим в виде дроби $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для построения угла нам понадобится прямоугольный треугольник с прилежащим катетом 1 и гипотенузой 5.
1. Построим отрезок $AC$ длиной 1 условная единица.
2. В точке $C$ проведем прямую, перпендикулярную отрезку $AC$.
3. С центром в точке $A$ и радиусом 5 условных единиц проведем дугу окружности так, чтобы она пересекла перпендикулярную прямую. Точку пересечения обозначим $B$.
4. Соединим точки $A$ и $B$. В полученном прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) гипотенуза $AB$ равна 5, а прилежащий к углу $\alpha$ катет $AC$ равен 1.
Таким образом, угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как $\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5} = 0,2$.
Ответ: Построенный угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$.

г) Косинус угла $\alpha$ равен $\frac{2}{3}$, что соответствует отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
1. Построим отрезок $AC$ длиной 2 условные единицы.
2. В точке $C$ проведем прямую, перпендикулярную отрезку $AC$.
3. С центром в точке $A$ и радиусом 3 условные единицы проведем дугу окружности до пересечения с перпендикулярной прямой в точке $B$.
4. Соединим точки $A$ и $B$. В полученном прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB$ равна 3, а прилежащий катет $AC$ равен 2.
Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, поскольку $\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{3}$.
Ответ: Построенный угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$.

д) Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Нам нужно построить угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
1. Построим отрезок $CB$ длиной 1 условная единица.
2. В точке $C$ проведем прямую, перпендикулярную отрезку $CB$.
3. С центром в точке $B$ и радиусом 2 условные единицы проведем дугу окружности до пересечения с перпендикулярной прямой. Точку пересечения обозначим $A$.
4. Соединим точки $A$ и $B$. В полученном прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом $C$) гипотенуза $AB$ равна 2, а противолежащий углу $\alpha$ катет $CB$ равен 1.
Таким образом, угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, так как $\sin(\angle CAB) = \frac{CB}{AB} = \frac{1}{2}$.
Ответ: Построенный угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$.

е) Представим $0,4$ в виде дроби $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Нам нужно построить угол $\alpha$ такой, что $\sin \alpha = \frac{2}{5}$. Построение основано на определении синуса в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
1. Построим отрезок $CB$ длиной 2 условные единицы.
2. В точке $C$ проведем прямую, перпендикулярную отрезку $CB$.
3. С центром в точке $B$ и радиусом 5 условных единиц проведем дугу окружности до пересечения с перпендикулярной прямой в точке $A$.
4. Соединим точки $A$ и $B$. В полученном прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB$ равна 5, а противолежащий катет $CB$ равен 2.
Угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$, поскольку $\sin(\angle CAB) = \frac{CB}{AB} = \frac{2}{5} = 0,4$.
Ответ: Построенный угол $\angle CAB$ является искомым углом $\alpha$.