Номер 596, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 596, страница 158.

Условие.

596. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, а один из острых углов равен $\alpha$. Выразите второй острый угол и катеты через $c$ и $\alpha$ и найдите их значения, если $c=24 \text{ см}$, а $\alpha=35^\circ$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть в заданном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, один острый угол равен $\alpha$, а второй острый угол — $\beta$. Катеты обозначим как $a$ и $b$. Примем, что катет $a$ является противолежащим углу $\alpha$, а катет $b$ — прилежащим к нему.

Второй острый угол
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Поскольку в прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, сумма двух острых углов равна $90^\circ$.
$\alpha + \beta = 90^\circ$
Выразим второй острый угол $\beta$ через известный угол $\alpha$:
$\beta = 90^\circ - \alpha$
Подставим заданные значения, где $\alpha = 35^\circ$:
$\beta = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$
Ответ: второй острый угол выражается формулой $90^\circ - \alpha$ и его значение равно $55^\circ$.

Катеты
Для нахождения катетов воспользуемся определениями синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике.

Катет $a$, противолежащий углу $\alpha$, выражается через гипотенузу и синус этого угла:
$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot \sin(\alpha)$
Подставим заданные значения $c = 24$ см и $\alpha = 35^\circ$:
$a = 24 \cdot \sin(35^\circ) \approx 24 \cdot 0.5736 \approx 13.77$ см.
Ответ: один катет выражается формулой $c \cdot \sin(\alpha)$ и его значение примерно равно $13.77$ см.

Катет $b$, прилежащий к углу $\alpha$, выражается через гипотенузу и косинус этого угла:
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} \implies b = c \cdot \cos(\alpha)$
Подставим заданные значения $c = 24$ см и $\alpha = 35^\circ$:
$b = 24 \cdot \cos(35^\circ) \approx 24 \cdot 0.8192 \approx 19.66$ см.
Ответ: второй катет выражается формулой $c \cdot \cos(\alpha)$ и его значение примерно равно $19.66$ см.