Номер 601, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 601, страница 158.

Условие.

601 Найдите углы ромба с диагоналями $2\sqrt{3}$ и $2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Пусть дан ромб, диагонали которого равны $d_1 = 2\sqrt{3}$ и $d_2 = 2$.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90°), в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба. Точка пересечения диагоналей делит ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей.

Найдем длины катетов одного из этих прямоугольных треугольников:
Первый катет: $a = \frac{d_1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Второй катет: $b = \frac{d_2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — острые углы этого прямоугольного треугольника. Эти углы являются половинами углов ромба. Найдем их значения с помощью тангенса. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Найдем тангенс угла $\alpha$, который лежит напротив катета $b=1$:
$\tan(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Отсюда следует, что угол $\alpha = 30^\circ$.

Найдем тангенс угла $\beta$, который лежит напротив катета $a=\sqrt{3}$:
$\tan(\beta) = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
Отсюда следует, что угол $\beta = 60^\circ$.

Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то углы ромба равны удвоенным значениям найденных углов $\alpha$ и $\beta$.
Один из углов ромба равен $2\alpha = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
Смежный с ним угол ромба равен $2\beta = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому у него два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.