Номер 599, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 7. Подобные треуггольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника - номер 599, страница 158.

Условие.

599. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен $ \alpha $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

По условию, основания равнобедренной трапеции равны $a = 6$ см и $b = 2$ см, а угол при большем основании равен $α$.

Чтобы найти высоту $h$, проведем из вершин меньшего основания перпендикуляры к большему основанию. Эти перпендикуляры отсекут на большем основании два равных отрезка по краям и центральный отрезок, равный меньшему основанию. Длина каждого из крайних отрезков равна полуразности оснований:

$x = \frac{a - b}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой $h$ и отрезком $x=2$ см. В этом треугольнике высота $h$ является катетом, противолежащим углу $α$, а отрезок $x$ — прилежащим катетом. Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$tan(α) = \frac{h}{x}$

Отсюда можем выразить высоту $h$:

$h = x \cdot tan(α) = 2 \cdot tan(α)$ см.

Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{6+2}{2} \cdot (2 \cdot tan(α)) = \frac{8}{2} \cdot 2 \cdot tan(α) = 4 \cdot 2 \cdot tan(α) = 8 \cdot tan(α)$ см².

Ответ: $8 \cdot tan(α)$ см².